Общее решение однородного уравнение такое:

А дальше не соображу,
А дальше совсем тривиально. Выписывать общее решение совсем ни к чему (оно нужно лишь для подгонки под начальные условия и никак на резонанс не влияет). Резонанс будет тогда и только тогда, когда частота в правой части совпадёт (с точностью до мнимой единицей, естественно) с корнем характеристического уравнения левой части для одного из собственных чисел, вот и всё. И фазовый сдвиг

тоже ни на что не влияет, это так, бантик для красоты.
Сознательнее же было бы в ряд вообще не раскладывать и искать решение уравнения в операторном виде:

, где

с соотв. граничными условиями и

есть функция от

при каждом

. Тогда функция

убирается из уравнения стандартной подстановкой

, где последнее слагаемое должно удовлетворять только неоднородному волновому уравнению и ничему больше (не считая того, что

должна, разумеется, удовлетворять граничным условиям). Если такая

найдётся, то резонанса нет; если не найдётся, то есть, поскольку в этом случае подстановка понадобится немного другая. Для функции

получается операторное уравнение

, с которым всё ясно. Чтобы решения такого уравнения не существовало (т.е. чтобы получился резонанс), нужны две вещи: во-первых, число

должно лежать на спектре оператора

, т.е. быть собственным; во-вторых, тождественная единичка, присутствующая в правой части, не должна быть ортогональной ядру оператора

, т.е. соответствующей собственной функции. (Последнее требование в Вашем случае будет выполняться всегда, при других же граничных условиях ортогональность вполне может и случаться.)
Большое спасибо за подсказку. Мне по условию задачи требуется решать методом Фурье, но предложенный вами метод действительно выглядит менее объемно. Попробую с ним попрактиковаться.
А еще такое возникло затруднение, я рассматривая случай когда условие резонанса выполняется, искал частное решение в виде:

и при отыскании констант A и B, после подстановки в уравнение получил, что

Соответственно получаю, что частное решение в случае резонанса будет иметь вид

проблема тут заключается в том, что когда я рассматриваю случай, при котором условие резонанса не выполняется, то частное решение ищу в томже виде, т.е.

И надо полагать решения для случая с резонансом и без, будут совпадать...Вот тут я не уверен, что такая ситуация совпадения решений является корректной.
Не моглибы мне подсказать, допустимо ли что решения будут иметь одинаковый вид?