Волновое уравнение. Резонанс

[Sboy]

Здравствуйте,

есть вот такое уравнение:
$u_{tt}=a^{2} u_{xx} + \sin ( \omega t + \frac {\pi}{4} )$
где:
$0<x<l , t>0$
граничные условия:
$u(0,t)=u_{x}(l,t)=0$
начальные условия:
$u(x,0)=u_{t}(x,0)=0$

Задача состот в следующем: Получить необходимое и достаточное условие резонанса
(необходимо учитывать зависимость от параметра l) . Решить задачу для двух слу-
чаев: когда условие резонанса выполнено и когда не выполнено.

Я нахожу собственные функции:
$x_{k}=\sin (\frac{\pi (2k+1) x}{2l})$

проецирую уравнение на полученный выше базис, получаю:
$\frac{l}{2} T_{k}''+ \frac{l}{2} a^{2} {\lambda _{k}}^{2} T_{k} = \frac{2l \sin (\omega t + \frac{\pi}{4})}{\pi (2k + 1)}$

Общее решение однородного уравнение такое:
$T_{k} = A_{k} \cos (a * \lambda_{k} t ) + B_{k} \sin ( a * \lambda_{k} t )$

А дальше не соображу, для того, чтобы выполнить условие задачи мне необходимо найти частное решение для случая когда выполненно условие резонанса, и в сумме с общим решением оно даст решение поставленной задачи, или-же необходимо найти два отдельных решения, в одном из которых частное решение соответствует случаю резонанса, а в другом не соответствует?

Заранее спасибо.

[ewert]

Sboy в сообщении #479554 писал(а):

Общее решение однородного уравнение такое:
$T_{k} = A_{k} \cos (a * \lambda_{k} t ) + B_{k} \sin ( a * \lambda_{k} t )$

А дальше не соображу,

А дальше совсем тривиально. Выписывать общее решение совсем ни к чему (оно нужно лишь для подгонки под начальные условия и никак на резонанс не влияет). Резонанс будет тогда и только тогда, когда частота в правой части совпадёт (с точностью до мнимой единицей, естественно) с корнем характеристического уравнения левой части для одного из собственных чисел, вот и всё. И фазовый сдвиг $\pi\over4$ тоже ни на что не влияет, это так, бантик для красоты.

Сознательнее же было бы в ряд вообще не раскладывать и искать решение уравнения в операторном виде: $u''_{tt}=Au+f(t)$, где $A=a^2\frac{d^2}{dx^2}$ с соотв. граничными условиями и $u$ есть функция от $x$ при каждом $t$. Тогда функция $f(t)=\sin(\omega t+\frac{\pi}4)$ убирается из уравнения стандартной подстановкой $u=v+w(x)\cdot\sin(\omega t+\frac{\pi}4)$, где последнее слагаемое должно удовлетворять только неоднородному волновому уравнению и ничему больше (не считая того, что $w$ должна, разумеется, удовлетворять граничным условиям). Если такая $w$ найдётся, то резонанса нет; если не найдётся, то есть, поскольку в этом случае подстановка понадобится немного другая. Для функции $w$ получается операторное уравнение $-\omega^2w=Aw+1$, с которым всё ясно. Чтобы решения такого уравнения не существовало (т.е. чтобы получился резонанс), нужны две вещи: во-первых, число $-\omega^2$ должно лежать на спектре оператора $A$, т.е. быть собственным; во-вторых, тождественная единичка, присутствующая в правой части, не должна быть ортогональной ядру оператора $A+\omega^2I$, т.е. соответствующей собственной функции. (Последнее требование в Вашем случае будет выполняться всегда, при других же граничных условиях ортогональность вполне может и случаться.)

[Sboy]

ewert в сообщении #479658 писал(а):

Sboy в сообщении #479554 писал(а):

Общее решение однородного уравнение такое:
$T_{k} = A_{k} \cos (a * \lambda_{k} t ) + B_{k} \sin ( a * \lambda_{k} t )$

А дальше не соображу,

А дальше совсем тривиально. Выписывать общее решение совсем ни к чему (оно нужно лишь для подгонки под начальные условия и никак на резонанс не влияет). Резонанс будет тогда и только тогда, когда частота в правой части совпадёт (с точностью до мнимой единицей, естественно) с корнем характеристического уравнения левой части для одного из собственных чисел, вот и всё. И фазовый сдвиг $\pi\over4$ тоже ни на что не влияет, это так, бантик для красоты.

Сознательнее же было бы в ряд вообще не раскладывать и искать решение уравнения в операторном виде: $u''_{tt}=Au+f(t)$, где $A=a^2\frac{d^2}{dx^2}$ с соотв. граничными условиями и $u$ есть функция от $x$ при каждом $t$. Тогда функция $f(t)=\sin(\omega t+\frac{\pi}4)$ убирается из уравнения стандартной подстановкой $u=v+w(x)\cdot\sin(\omega t+\frac{\pi}4)$, где последнее слагаемое должно удовлетворять только неоднородному волновому уравнению и ничему больше (не считая того, что $w$ должна, разумеется, удовлетворять граничным условиям). Если такая $w$ найдётся, то резонанса нет; если не найдётся, то есть, поскольку в этом случае подстановка понадобится немного другая. Для функции $w$ получается операторное уравнение $-\omega^2w=Aw+1$, с которым всё ясно. Чтобы решения такого уравнения не существовало (т.е. чтобы получился резонанс), нужны две вещи: во-первых, число $-\omega^2$ должно лежать на спектре оператора $A$, т.е. быть собственным; во-вторых, тождественная единичка, присутствующая в правой части, не должна быть ортогональной ядру оператора $A+\omega^2I$, т.е. соответствующей собственной функции. (Последнее требование в Вашем случае будет выполняться всегда, при других же граничных условиях ортогональность вполне может и случаться.)

Большое спасибо за подсказку. Мне по условию задачи требуется решать методом Фурье, но предложенный вами метод действительно выглядит менее объемно. Попробую с ним попрактиковаться.
А еще такое возникло затруднение, я рассматривая случай когда условие резонанса выполняется, искал частное решение в виде:
$T^{ч}=A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) + B * t * \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
и при отыскании констант A и B, после подстановки в уравнение получил, что $B=0$
Соответственно получаю, что частное решение в случае резонанса будет иметь вид $T^{ч}=A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
проблема тут заключается в том, что когда я рассматриваю случай, при котором условие резонанса не выполняется, то частное решение ищу в томже виде, т.е. $T=A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
И надо полагать решения для случая с резонансом и без, будут совпадать...Вот тут я не уверен, что такая ситуация совпадения решений является корректной.
Не моглибы мне подсказать, допустимо ли что решения будут иметь одинаковый вид?

[Sboy]

понял, что искал в неправильном виде решение, начал искать в виде $t (A \sin (\omega t + \frac{\pi}{4} ) + B \cos (\omega t + \frac{\pi}{4}))$
но там получаются какието сумасшедшие коэффициенты A и B...

[ewert]

Sboy в сообщении #479859 писал(а):

понял, что искал в неправильном виде решение, начал искать в виде $t (A \sin (\omega t + \frac{\pi}{4} ) + B \cos (\omega t + \frac{\pi}{4}))$
но там получаются какието сумасшедшие коэффициенты A и B...

Да ничего там сумасшедшего не будет. По времени получается простенькое уравнение вида $y''(t)+\omega^2y(t)=\sin(\omega t+\frac{\pi}4)$, и после подстановки сразу получится $A=0$ и $B$ там соответственно. Собственно, это чуть ли не со школы известно, что в случае резонанса колебания отличаются от внешнего воздействия по фазе на $\pi\over2.$