А если не сложно, можно увидеть ещё контрпример?
Ну вот для начала не то чтоб контрпример, но идейный подход к нему. Берём просто синус на отрезке
![$[0;2\pi],$ $[0;2\pi],$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/b/16b4e4873e47723b94ab5a9c9893f41d82.png)
считая, что
![$x_0=2\pi$ $x_0=2\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/0/3d0a4627828dad53150e767ac551bffb82.png)
и что ноль -- это начальное значение для
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
. А потом будем двигать
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
вправо, приближая его к правому концу. Когда
![$a=0$ $a=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/3/d7390019e5f9d9dcee82a92b3e0a537582.png)
, секущая идёт горизонтально и можно в качестве
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
выбрать положение нижней вершины графика
![$\frac\pi2$ $\frac\pi2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/d/97dc75e6caae080ff5255b67bec3634482.png)
. Потом точка потихоньку поднимается, наклон секущей становится всё более отрицательным и, соответственно,
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
сдвигается от
![$\frac\pi2$ $\frac\pi2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/d/97dc75e6caae080ff5255b67bec3634482.png)
вправо (внутрь интервала отрицательности производной). Однако обратите внимание, что некоторую окрестности точки
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
значения
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
вынуждены будут проскочить, ведь в этой точке производная равна минус единице, в то время как наклон любой секущей по модулю меньше единицы.
Конечно, здесь ситуацию легко исправить и сделать функцию
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
непрерывной, выбрав в качестве
![$c(0)$ $c(0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/9/e99e38d36448e891f44279aa00be769382.png)
не
![$\frac\pi2$ $\frac\pi2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/d/97dc75e6caae080ff5255b67bec3634482.png)
, а
![$\frac{3\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/487bb56b7758044be72cd2486c473d2082.png)
. И неудивительно, ведь функция-то всё же непрерывно дифференцируема. А вот в стандартном контрпримере, напомненном
Dan B-Yallay, этот фокус уже не пройдёт, поскольку там осцилляции сгущаются к правому концу и их количество бесконечно. При любом значении
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, попадающем на корень, мы вынуждены будем брать в качестве
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
абсциссу одной какой-то
конкретной вершинки справа, и поскольку правее неё вершин бесконечно много -- разрывы функции
![$c(a)$ $c(a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/d/ebdb6da631da8bfbbf23f2a54342caf382.png)
будут возникать постоянно при любом выборе этой функции, так что спасти положение никак не удастся.