Гиперматрицы (попытка построения нового объекта....)

[warlock66613]

Т.к. я новый человек на форуме, то необходимо прежде всего предупредить (на всякий случай), что я - дилетант и в математике соображаю плохо. Ну а теперь - к делу.

Меня недавно заинтересовала возможность постороения объектов, которые я назвал гиперматрицами. Это что-то вроде комплексных чисел, но вместо действительных чисел - квадратные матрицы $n$-го порядка. Аксиоматика примерно следующая:

Гиперматрицей $n$-го порядка называется упорядоченная пара $(A, B)$, где $A$, $B$ - произвольные квадратные матрицы $n$-го порядка.

Суммой гиперматриц $(A, B)$ и $(C, D)$ называется гиперматрица $(A + B, C + D)$.

Произведением гиперматриц $(A, B)$ и $(C, D)$ называется гиперматрица $(AC + BC', AD + BD')$, где
$C=\begin{Bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{Bmatrix} $, $D=\begin{Bmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ d_{n1} & d_{n2} & \cdots & d_{nn} \end{Bmatrix} $,
$C'=\begin{Bmatrix} c_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{nn} \end{Bmatrix} $, $D'=\begin{Bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{Bmatrix} $.

Что далее из этих аксиом получается я пока не смотрел. Собственно вопрос-просьба к участникам форума: вы не в курсе, может кто-нибудь где-нибудь когда-нибудь рассматривал что-нибудь похожее?

[Kallikanzarid]

warlock66613 в сообщении #477808 писал(а):

Произведением гиперматриц $(A, B)$ и $(C, D)$ называется гиперматрица $(AC + BC', AD + BD')$

Почему?

[bnovikov]

Kallikanzarid в сообщении #477812 писал(а):

warlock66613 в сообщении #477808 писал(а):

Произведением гиперматриц $(A, B)$ и $(C, D)$ называется гиперматрица $(AC + BC', AD + BD')$

Почему?

Называть-то warlock66613 может как угодно, дело не в том. Это "произведение" неассоциативно, поэтому вопрос к warlock66613: обладает ли оно какими-нибудь хорошими свойствами вместо ассоциативности?

Перечень "хороших свойств" можно найти, например, в статье "Magma (algebra)" в АНГЛИЙСКОЙ Википедии.

[warlock66613]

bnovikov в сообщении #477813 писал(а):

Это "произведение" неассоциативно

Это очень плохо. Это не годится. Жаль. Собственно исходная проблема такова - я пытаюсь расширить кольцо квадратных матриц так, чтобы включить туда элемент $I$: $IA=A'$, где $A'$ - $A$ с обнулёнными недигональными элементами. И включить его надо так, чтобы сохранить максимум полезных свойств. И ассоциативность на первом месте среди них конечно.
Вначале я думал, нельзя ли представить исходные квадратные матрицы как частный случай чего-то более обширного (например многомерных матриц) так чтобы $I$ также оказался представим. Но не получается.
Вообще я сейчас подумал - наверное ассоциативность не получится сохранить в принципе, т.к. $I(AA) \ne (IA)A$. Ну что ж, буду надеятся, что найдутся другие хорошие свойства. Если найду - напишу.

[Kallikanzarid]

warlock66613 в сообщении #477830 писал(а):

я пытаюсь расширить кольцо квадратных матриц так, чтобы включить туда элемент $I$: $IA=A'$, где $A'$ - $A$ с обнулёнными недигональными элементами.

Это абсолютно неестественное требование, зачем вам это? Кстати, тут получается практически не обходимое противоречие: $I = I1 = 1$.

[Xaositect]

$I$ - это линейный оператор на пространстве матриц. Так что можно перейти от собственно матриц к операторам, скажем, левого умножения на них: $L_A\colon B \mapsto AB$. Тогда операторы вида $L_A$ и $I$ можно спокойно перемножать. Получится некоторая подалгебра в $F^{n^2\times n^2}$. Только я не вижу, как из этого может получиться что-то удобное.

[warlock66613]

Kallikanzarid в сообщении #477856 писал(а):

Кстати, тут получается практически не обходимое противоречие: $I = I1 = 1$.

Его можно обойти, если положить не $IA=A'$, как я хотел в начале, а $IA=A'I$.

Xaositect в сообщении #477865 писал(а):

$I$ - это линейный оператор на пространстве матриц. Так что можно перейти от собственно матриц к операторам, скажем, левого умножения на них: $L_A\colon B \mapsto AB$. Тогда операторы вида $L_A$ и $I$ можно спокойно перемножать. Получится некоторая подалгебра в $F^{n^2\times n^2}$. Только я не вижу, как из этого может получиться что-то удобное.

Да, это всё вполне очевидно и так же очевидно бесполезно (=никакой удобной алгебры не получится).

Kallikanzarid в сообщении #477856 писал(а):

Это абсолютно неестественное требование, зачем вам это?

У меня есть надежда, что если построить такую алгебру, то с помощью неё можно будет красиво включить редукцию волновой функцию в традиционный аппарат квантовой механики. Конечно такое построение само по себе для физики ничего нового не даст, но некотрые вещи можно будет переформулировать более последовательно и красиво.

Итак, получается, что стоит попробовать поиграть с таким определением $I$:
$IA=A'I$, $(BI)C=B(IC)$

[warlock66613]

Большое спасибо всем писавшим в данную тему, вы мне очень помогли. Вот что у меня пока получается. По-видимому, есть только 3 возможности расширить кольцо матриц, элементы которых являются комплексными числами, без потери ассоциативности (более того мне не удалось найти варианта, который сохранил хотя бы степенную ассоциативность):
1) $(A, B) \cdot (C, D) = (AC - BD^*, AD + BC^*)$ - "гиперкомплексные" матрицы,
2) $(A, B) \cdot (C, D) = (AC + BD^*, AD + BC^*)$ - "гипердвойственные" матрицы,
3) $(A, B) \cdot (C, D) = (AC, AD + BC^*)$ - "гипердуальные" матрицы.
Здесь $A^*$ - матрица, комплексно сопряжённая матрице A.

Мне наиболее симпатичен тип 2, так как при таком определении произведения
$(1, 1) \cdot (A, A) = 2 (A', A')$, если $A$ - эрмитова с чисто мнимыми недиагональными элементами.

Теперь я думаю надо сформулировать и доказать некий аналог теоремы Фробениуса. Кстати, я уверен ,что где-нибудь подобные конструкции уже рассматривались. Может кто-нибудь знает где?

[Jnrty]

Jnrty:

Перенёс из раздела "Дискуссионные темы (М)", поскольку не увидел ничего дискуссионного.

[Xaositect]

warlock66613
Если я правильно понял, Вам нужна классификация действительных алгебр размерности 16, содержащих $C^{2\times 2}$ в качестве подалгебры. Их много. В основном из-за алгебр с радикалом.
Из полупростых Вы забыли $(\mathbb{C}^{2\times 2})^2$. Это $(A, B)\cdot (C, D) = (AC + BD, AD + BC)$. А Ваши варианты 1 и 2 - это $\mathbb{H}^{2\times 2}$ и $\mathbb{R}^{4\times 4}$.
Если же рассматривать алгебры с радикалом, то там как минимум возникает семейство $(A, B)\cdot (C, D) = (AC + BJDJ, AD + BJCJ)$, где $J$ - произвольная матрица, удовл. условию $J^2 = I$, и аналогичное, но со звездочками на $D$ и $C$ во вторых слагаемых. И они вроде бы по большей части не изоморфны, но я это так, на глаз прикинул, могу врать.
Наверняка есть и еще более неприятные варианты.

[warlock66613]

Xaositect в сообщении #479047 писал(а):

Если я правильно понял, Вам нужна классификация действительных алгебр размерности 16, содержащих $C^{2\times 2}$ в качестве подалгебры.

Почти, но не совсем. А именно то что вы написали, кроме тех которые можно отобразить на $C^{2\times 2}$. Надеюсь, что вы поняли что я имею в виду - не смог сформулировать вполне корректно. Поясню. Любая алгебра из семейства

Xaositect в сообщении #479047 писал(а):

$(A, B)\cdot (C, D) = (AC + BJDJ, AD + BJCJ)$, где $J$ - произвольная матрица, удовл. условию $J^2 = I$

"эквивалентна" алгебре $C^{2\times 2}$:
$(A, B) \to A + BJ$
$(A, B) \cdot (C, D) \to (A + BJ) \cdot (C + DJ)$,
а вот

Xaositect в сообщении #479047 писал(а):

$\mathbb{H}^{2\times 2}$ и $\mathbb{R}^{4\times 4}$

- нет.

И ещё. 16 - это ведь для матриц 2го порядка, правильно? Мне надо более общий случай: размерность $4n^2$, подалгебра - соответственно - $C^{n\times n}$.

[Xaositect]

Ой, разумеется, я имел в виду. $(A, B)\cdot (C, D) = (AC, AD + BJCJ)$. И оно тоже изоморфно уже рассмотренному варианту $(A, B)\cdot (C, D) = (AC, AD + BC)$.

-- Ср авг 31, 2011 11:15:11 --

warlock66613
Честно говоря, не совсем понял, что Вы хотите. Для $\mathbb{H}^{4\times 4}$ в том варианте, как он написан у Вас в пункте 1, можно взять $(A, B)\mapsto \operatorname{re} A + \operatorname{re} B$.

[warlock66613]

Xaositect в сообщении #479171 писал(а):

Честно говоря, не совсем понял, что Вы хотите. Для $\mathbb{H}^{4\times 4}$ в том варианте, как он написан у Вас в пункте 1, можно взять $(A, B)\mapsto \operatorname{re} A + \operatorname{re} B$.

Разве? У меня не получается.
$(A, B) \cdot (C, D) = (AC - BD^*, AD + BC^*)$
Левая часть отображается в
$(\operatorname{Re} A + \operatorname{Re} B)(\operatorname{Re} C + \operatorname{Re} D) =$
$= (\frac {A + A^* } 2 + \frac {B + B^* } 2)(\frac {C + C^* } 2 + \frac {D + D^* } 2) =$
$= \frac {AC + AC^* + A^*C + A^*C^*} 4 + ...$,
а правая в
$\operatorname{Re} (AC - BD^*) + \operatorname{Re} (AD + BC^*) =$
$= \frac {AC + A^*C^*} 2 + ...$,
но ведь вообще
$\frac {AC + AC^* + A^*C + A^*C^*} 4 \ne \frac {AC + A^*C^*} 2$.

[warlock66613]

Xaositect в сообщении #479171 писал(а):

$(A, B)\cdot (C, D) = (AC, AD + BJCJ)$. И оно тоже изоморфно уже рассмотренному варианту $(A, B)\cdot (C, D) = (AC, AD + BC)$.

Либо я неправильно понимаю, что такое изоморфизм, либо не изоморфно. Изоморфизм требует однозначности, верно? Значит каждой матрице $BJCJ$ должна соответствовать единственная матрица $BC$, но при $J=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ если $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, то $BJC=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $BC=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, а если $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, то $BJC=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $BC=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, т.е. одному $BJC$ (а значит и $BJCJ$) ссответсвует несколько $BC$

[Xaositect]

warlock66613 в сообщении #479370 писал(а):

Разве? У меня не получается.

Я вас не так понял, теперь понятно.

Во втором случае изоморфизм $(A,B)\mapsto (A, BJ)$. $(A, BJ)(C, DJ) = (AC, ADJ + BJC) = (AC, (AD + BJCJ)J)$