Большое спасибо всем писавшим в данную тему, вы мне очень помогли. Вот что у меня пока получается. По-видимому, есть только 3 возможности расширить кольцо матриц, элементы которых являются комплексными числами, без потери ассоциативности (более того мне не удалось найти варианта, который сохранил хотя бы степенную ассоциативность):
1)
![$(A, B) \cdot (C, D) = (AC - BD^*, AD + BC^*)$ $(A, B) \cdot (C, D) = (AC - BD^*, AD + BC^*)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/d/b5dd2dee128dc8833cf7d9e9fe08325282.png)
- "гиперкомплексные" матрицы,
2)
![$(A, B) \cdot (C, D) = (AC + BD^*, AD + BC^*)$ $(A, B) \cdot (C, D) = (AC + BD^*, AD + BC^*)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/a/46ab1cc3e397e3b5f45510a9af42672a82.png)
- "гипердвойственные" матрицы,
3)
![$(A, B) \cdot (C, D) = (AC, AD + BC^*)$ $(A, B) \cdot (C, D) = (AC, AD + BC^*)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c57c44c7a285be9ad8926b378f52d9282.png)
- "гипердуальные" матрицы.
Здесь
![$A^*$ $A^*$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/7/6b76fc0b9cd7cb371b27ad580362055082.png)
- матрица, комплексно сопряжённая матрице A.
Мне наиболее симпатичен тип 2, так как при таком определении произведения
![$(1, 1) \cdot (A, A) = 2 (A', A')$ $(1, 1) \cdot (A, A) = 2 (A', A')$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/00513092341066231d1338b3556b59a282.png)
, если
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
- эрмитова с чисто мнимыми недиагональными элементами.
Теперь я думаю надо сформулировать и доказать некий аналог теоремы Фробениуса. Кстати, я уверен ,что где-нибудь подобные конструкции уже рассматривались. Может кто-нибудь знает где?