Сумма граничного и нигде не плотного множества

[xmaister]

Пытаюсь доказать, что сумма граничного и нигде не плотного множества является граничным множеством.

Пусть $A$- граничное, $B$- нигде не плотное. Записываю по определению:
$1=\overline{1-A}$; $1=\overline{1-\overline{B}}$ Нахожу их сумму

$1=\overline{1-A}\cup\overline{1-\overline{B}}=\overline{(1-A)\cup(1-\overline{B})}=$
$\overline{1-(A\cap\overline{B})}\subset\overline{1-(A\cap B)}$. Отсюда получается, что произведение граничного и нигде не плотного- граничное. Подскажите, где ошибаюсь.

Благодарю.

[xmaister]

Вроде решилась, посмотрите пожалуста, правильно?

Предпложим противное:
Тогда $\overline{1-(A\cup B)}\ne X\Leftrightarrow\{\exists x\exists Ox \ne\varnothing :O\cap[1-(A\cup B)]=\varnothing$\}
$O\subset A\cup B$
$1-(A\cup B)\subset 1-O$
$\overline{1- (A\cup B)}\subset 1-O$
$\overline{(1-A)-B}\subset 1-O$
$\overline{1-A}-\overline{B}\subset 1-O$
$1-\overline{B}\subset 1-O$
$1\subset 1-O\subset 1$
$(1-O=1)\Leftrightarrow O=\varnothing$- противоречие.


Благодарю.

[Someone]

По-моему, правильно (только опечатка в первой строчке: вместо $X$ должно быть $1$). Можно сравнить это с доказательством у Куратовского (К.Куратовский. Топология. Том 1. "Мир", Москва, 1966. § 8, пункт III, теорема 1).
Пусть $\overline{1-X}=1=\overline{1-\overline Y}$. Из включения $\overline A-\overline B\subset\overline{A-B}$ получаем $1-\overline Y=\overline{1-X}-\overline Y\subset\overline{(1-X)-Y}=\overline{1-(X\cup Y)}$. Отсюда $1=\overline{1-\overline Y}\subset\overline{1-(X\cup Y)}$, и окончательно $\overline{1-(X\cup Y)}=1$.