Тетрация

[Fedya]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане. Подскажите существует ли лимит тетрации с основанием корень из двух?

-- 28.08.2011, 21:54 --

И если да, то как его найти, или хотя бы доказать, что он существует

[gris]

Найти, по моему, проще (именно для корня из двух), чем доказать, что существует. Просто подставить в определение и перейти к пределу.

[SpBTimes]

$(\sqrt{2})^{x} = x$
$x = 2$

Сходимость будет для оснований в интервале $e^{-e}\leqslant x \leqslant e^{\frac{1}{e}}$

[gris]

А есть ещё корни. Например, 4

[Fedya]

SpBTimes в сообщении #478384 писал(а):

$(\sqrt{2})^{x} = x$
$x = 2$

Сходимость будет для оснований в интервале $e^{-e}\leqslant x \leqslant e^{\frac{1}{e}}$

что-то не я не понял

[SpBTimes]

gris в сообщении #478385 писал(а):

А есть ещё корни. Например, 4

Да, об этом я как-то не подумал. Нужно ограничить как-то, хм..

[Fedya]

Fedya в сообщении #478387 писал(а):

SpBTimes в сообщении #478384 писал(а):

$(\sqrt{2})^{x} = x$
$x = 2$

Сходимость будет для оснований в интервале $e^{-e}\leqslant x \leqslant e^{\frac{1}{e}}$

что-то не я не понял

Можна, все же поинтересоваться откуда взят именно такой интервал?

-- 28.08.2011, 22:50 --

Fedya в сообщении #478387 писал(а):

SpBTimes в сообщении #478384 писал(а):

$(\sqrt{2})^{x} = x$
$x = 2$

Сходимость будет для оснований в интервале $e^{-e}\leqslant x \leqslant e^{\frac{1}{e}}$

что-то не я не понял

Можна, все же поинтересоваться откуда взят именно такой интервал?

[SpBTimes]

Fedya в сообщении #478394 писал(а):

Можна, все же поинтересоваться откуда взят именно такой интервал?

Это довольно известный факт. Его доказательство можно найти и на форуме:
x > 1
x < 1

Что касается задачи. Доказать, что предел именно 2, можно следующим образом.
$\forall x < 2 (\sqrt{2})^{x} < 2$ А значит $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}} < 2$, а значит и
$(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}} < 2$ и так далее.

[Fedya]

SpBTimes

Спасибо большое! Теперь все понятно!!!

[Keter]

а как действовать с корнем кубическим?

[SpBTimes]

из чего?

[Keter]

кубическим корнем из 2

[SpBTimes]

Всё равно придётся искать корень уравнения
$(\sqrt[3]{2})^{x} = x$

[Keter]

SpBTimes в сообщении #478509 писал(а):

Всё равно придётся искать корень уравнения
$(\sqrt[3]{2})^{x} = x$

приблизительно 1.3734. а тогда неравенство какой вид имеет?

[SpBTimes]

Какое неравенство?