Исследовать сходимость и абсолютную сходимость

[ewert]

integral2009 в сообщении #478439 писал(а):

Нужна оценка снизу. Какая же это оценка?)

Это, в отличие от всего предыдущего -- достаточно тяжёлый вопрос.

Фактически расходимость ряда из модулей очевидна, поскольку косинусы в определённом смысле "равномерно" заполняют промежуток своих значений и, во всяком случае, достаточно часто приближаются по модулю к единице. Однако лобовое оформление этих соображений довольно нудно; ну или можно попытаться потрюкачить. В данном конкретном случае срабатывает такой простенький трюк. Ясно, что $|\cos n|\geqslant\cos^2n$ (поскольку вообще $t\geqslant t^2$ при $t\in[0;1]$). Однако $\cos^2n=\frac12\cos2n+\frac12$. И если оставить в последнем выражении только первое слагаемое, то ряд сойдётся по тем же причинам, что и исходный; а если только второе -- то очевидно разойдётся.

[integral2009]

Ох, точно, спасибо, красиво, понятно! А если б был синус в числителе?:))

[ewert]

integral2009 в сообщении #478488 писал(а):

А если б был синус в числителе?:))

А какая разница, квадрат косинуса или синуса.