Нужна оценка снизу. Какая же это оценка?)
Это, в отличие от всего предыдущего -- достаточно тяжёлый вопрос.
Фактически расходимость ряда из модулей очевидна, поскольку косинусы в определённом смысле "равномерно" заполняют промежуток своих значений и, во всяком случае, достаточно часто приближаются по модулю к единице. Однако лобовое оформление этих соображений довольно нудно; ну или можно попытаться потрюкачить. В данном конкретном случае срабатывает такой простенький трюк. Ясно, что
![$|\cos n|\geqslant\cos^2n$ $|\cos n|\geqslant\cos^2n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/ace0202e32da45e9ec6af297207d253f82.png)
(поскольку вообще
![$t\geqslant t^2$ $t\geqslant t^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/1/931c23bf5d8f3e279b51155add6b68c282.png)
при
![$t\in[0;1]$ $t\in[0;1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/c/dacedd9bed2ef6dd273dbaf8368bdc2782.png)
). Однако
![$\cos^2n=\frac12\cos2n+\frac12$ $\cos^2n=\frac12\cos2n+\frac12$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f253339bd7c50df598671dd44a4bb7a82.png)
. И если оставить в последнем выражении только первое слагаемое, то ряд сойдётся по тем же причинам, что и исходный; а если только второе -- то очевидно разойдётся.