Привет. Помогите продолжить доказательство.
Я хочу доказать лемму о существовании и единственности верхней/нижней грани из леммы Больцано-Вейерштрасса. Она гласит, что всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Рассматриваю ограниченное бесконечное числовое множество
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
. Предположим для бесконечных ограниченных не существует верхних/нижних граней.
Беру некоторую
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
такую, что
![$\forall x \in X, a\leq x$ $\forall x \in X, a\leq x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/5/b95ed659902f6d729655a1046804cf8a82.png)
. Получается, что для любой такой
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
найдётся
![$a'$ $a'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/c/4fc63d27626433f23e36eca761bac52b82.png)
такая, что
![$a < a'$ $a < a'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/0/260abd39c9eb5cbc1bd8e39a3222e39a82.png)
и
![$\forall x \in X, a'\leq x$ $\forall x \in X, a'\leq x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/5/f25a77a3fa0d5746538bc58fcea46a2e82.png)
. При некоторой фиксированной
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
таких точек тоже ограничено, к тому же их бесконечно много (и у него тоже нет верхней и нижней граней по предположению). Значит у этого множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
есть предельная точка.
Что делать дальше, я не понимаю, к сожалению. Наверное, нужно показать, что предельной точки существовать не должно у этого множества?