Лемма о верхней/нижней грани из леммы Больцано-Вейерштрасса

[ean]

Привет. Помогите продолжить доказательство.
Я хочу доказать лемму о существовании и единственности верхней/нижней грани из леммы Больцано-Вейерштрасса. Она гласит, что всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Рассматриваю ограниченное бесконечное числовое множество $X$. Предположим для бесконечных ограниченных не существует верхних/нижних граней.
Беру некоторую $a$ такую, что $\forall x \in X, a\leq x$. Получается, что для любой такой $a$ найдётся $a'$ такая, что $a < a'$ и $\forall x \in X, a'\leq x$. При некоторой фиксированной $a$ множество $A$ таких точек тоже ограничено, к тому же их бесконечно много (и у него тоже нет верхней и нижней граней по предположению). Значит у этого множества $A$ есть предельная точка.
Что делать дальше, я не понимаю, к сожалению. Наверное, нужно показать, что предельной точки существовать не должно у этого множества?

[ewert]

ean в сообщении #476971 писал(а):

Рассматриваю ограниченное бесконечное числовое множество $X$. Предположим для бесконечных ограниченных не существует верхних/нижних граней.

Ну снова неправильная формулировка: не "для бесконечных вообще" не существует, а "для данного бесконечного не существует". И дальше там какая-то путаница с неравенствами. Самое же главное: строящаяся последовательность верхних границ должна быть "квалифицированной", иначе её предельная точка может вовсе и не оказаться супремумом, а у Вас этого не наблюдается; естественно, так ничего и не докажешь.

Возьмём любой элемент $a$ данного ограниченного множества и любую верхнюю границу $b$ этого множества. Построим монотонно (нестрого) убывающую последовательность верхних границ по правилу: для каждого $n$ берём в качестве $c_n$ наименьшую из верхних гранц, встречающихся среди точек $a+k\,\frac{b-a}{2^n},\ k=0,1,\ldots,2^n.$ Из леммы Больцано-Вейерштрасса следует, что эта последовательность имеет предел; вот он-то и будет супремумом.

[ean]

Спасибо, разобрался.

ewert в сообщении #476979 писал(а):

Ну снова неправильная формулировка: не "для бесконечных вообще" не существует, а "для данного бесконечного не существует".

В свою защиту могу только сказать, что я понимал, что это формулировка неправильная (излишняя скорее), просто хотел посмотреть что может получиться так.