Разложить многочлен IV степени на множители.

[Guliashik]

$x^4+x^2+1$.
Большое спасибо!

[_hum_]

Так а в чем у вас трудности возникли?

[SpBTimes]

добавьте и вычтите $x^2$

[Guliashik]

_hum_ в сообщении #477954 писал(а):

Так а в чем у вас трудности возникли?

Проблема была в том, что по моему мнению, данный многочлен содержит только комплексно-сопряжённые корни. А другого собственно метода разложения на множители не знаю.
SpBTimes, Спасибо большое! Ответьте пожалуйста. Это опыт вам подсказал? Или что? Хотя это очевидно, что надо дополнить для формул сокращенного умножения. Но я сие не увидел.

[arseniiv]

Guliashik в сообщении #477964 писал(а):

Проблема была в том, что по моему мнению, данный многочлен содержит только комплексно-сопряжённые корни.

Обозначим их тогда $z_1, \bar z_1, z_2, \bar z_2$. Посмотрите, во что превращаются $(x - z_1)(x - \bar z_1)$ и $(x - z_2)(x - \bar z_2)$ — как раз первый и второй множители с действительнозначными коэффициентами должны быть!

[SpBTimes]

Guliashik не знаю, опыт ли.

[Guliashik]

arseniiv в сообщении #477972 писал(а):

Guliashik в сообщении #477964 писал(а):

Проблема была в том, что по моему мнению, данный многочлен содержит только комплексно-сопряжённые корни.

Обозначим их тогда $z_1, \bar z_1, z_2, \bar z_2$. Посмотрите, во что превращаются $(x - z_1)(x - \bar z_1)$ и $(x - z_2)(x - \bar z_2)$ — как раз первый и второй множители с действительнозначными коэффициентами должны быть!

Так то оно так. Я наверно напутал что-то. В одном месте не получилось избавиться от мнимой единицы, ибо комплексные числа под радикалом.
Спасибо большое!)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Guliashik в сообщении #477998 писал(а):

В одном месте не получилось избавиться от мнимой единицы, ибо комплексные числа под радикалом.

Недоупростили, может. Либо не все комплексно сопряжённые.

[bot]

Ещё вариант (типа нормальные герои всегда идут в обход):
Домножив на $x^2-1$, получим $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$. Теперь очевидное разложение с последующим устранением множителя $x^2-1$.

[Guliashik]

Как говорится "Зри в корень". Не узрел. Спасибо, bot!

[Guliashik]

Собственно говоря опять непонятки:
$x^4+1=(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)$
Чисто логически рассуждая я разложил вот так.
Но не могу придти к данному разложению используя комплексные переменные:
$(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})(x+\sqrt{-i})(x-\sqrt{-i})$
Вот такое чудо у меня получилось, найдя все корни данного выражения. Попытаться привести множители к подобающему виду через разность квадратов у меня не получилось. (Хотя если разложить самое верхнее выражение, то всё получается). Вполне возможно я допустил где-то ошибку. Направьте на путь истинный:) Спасибо!)

[ИСН]

Тут надо, во-первых, расписать $\sqrt i$ нормально, а во-вторых, понять, кого с кем скрещивать.

[Guliashik]

"Расписать нормально". Что Вы под этим подразумеваете?

[ИСН]

Записать в виде обыкновенного комплексного числа ("сколько-то плюс сколько-то i"), без корней.

[Guliashik]

$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$