Пусть

-открытое,

-произвольное. Доказать, что

Одно включение понятное:


. Пусть

- окрестность точки

.

,

- открыто.

. Если использовать то вспомогательное утверждение, что

, тогда

. Тогда

. Так будет правильно?
Как-то не совсем вразумительно. Я доказывал бы так.
Пусть

,

- произвольная открытая окрестность точки

. Тогда

, то есть,

. Так как множество

открыто, отсюда следует, что

(пользуемся тем, что если

, то

и, следовательно,

, то есть,

). Поэтому

, а так как

- произвольная открытая окрестность точки

, то

. Из этих рассуждений следует требуемое обратное включение:

.
Можно сравнить это с доказательством у Куратовского (К.Куратовский. Топология. Том 1. "Мир", Москва, 1966. § 5, пункт III).
Так как

,
то 
. Включение

влечёт включение

и, так как из

следует

, получаем

.