Площадь треугольника

[Verka-Serdyuchka]

Какую наибольшую площадь может иметь треугольник со сторонами

а) $a\le 4, b\le 5, c\le 7$?

б)* $a\le 4, b\le 5, c\le 6$?

[Sender]

а)$S=10$.
б)$S=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.

[Verka-Serdyuchka]

Sender в сообщении #477838 писал(а):

а)$S=10$.
б)$S=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.

Почему в б)* такой ответ?

[TOTAL]

Verka-Serdyuchka в сообщении #477839 писал(а):

Почему в б)* такой ответ?

По формуле Гурона.

[vvsss]

В остроугольном треугольнике увеличение любой стороны ведет к увеличению площади.
Пока не понимаю проблемы.

[sergei1961]

А почему ведёт? Из какой формулы для площади это следует?

[ИСН]

Из ${1\over2}a\cdot b\cdot\sin\gamma$, например. Когда $c$ увеличивается, то - - -

[sergei1961]

...то по теореме синусов и $\sin \gamma$ увеличивается? А почему радиус увеличивается, а не может уменьшиться?

[ИСН]

Теорема синусов нам тут ничего хорошего не говорит, потому что углы меняются все. А кто такой радиус и откуда он взялся, я вообще не понял.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #478089 писал(а):

А почему ведёт? Из какой формулы для площади это следует?

Из той же формулы Герона, например.

[sergei1961]

В формуле Герона, если зафиксировать a,b - то три сомножителя-да, будут возрастать, но четвертый $p-c$-убывать. Извините за глупость, но сразу не вижу.
Можно конечно взять логарифм квадрата площади и производную, но это как-то...
Теорема синусов: $c=2R\sin \gamma$.
Чтобы из неё доказать, что $\sin (\gamma)$ возрастает с ростом $\text{c}$ по приведённой выше формуле для площади надо с радиусом разобраться. Тоже не вижу.

[nnosipov]

Пусть $f(x)=-{x}^{4}+ \left( 2\,{b}^{2}+2\,{a}^{2} \right) {x}^{2}-{b}^{4}+2\,{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}$, $f(c)=16S^2$. Имеем $f'(c)=4c(-c^2+b^2+a^2)>0$, поскольку $a^2+b^2>c^2$, если угол $\gamma$ --- острый.

[sergei1961]

Согласен, спасибо. Но я такого сразу не вижу, мне за это не стыдно, поэтому и спрашивал.
И ещё от поставленной задачи остаётся случай тупоугольного-или закономерность с ростом стороны всегда верна?

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #478237 писал(а):

... остаётся случай тупоугольного-или закономерность с ростом стороны всегда верна?

Если $\gamma$ --- тупой угол, то $a^2+b^2<c^2$ и $f'(c)<0$.

[sergei1961]

Родственная задача: доказать, что при фиксированных двух сторонах с ростом третьей растёт радиус описанной окружности-тоже просто решается?
А первоначальную задачу получается пока не решили? В остроугольном треугольнике -решили, берём наибольшие. А в тупоугольном?
Вот интересная задача: найти формулы для площади и радиуса, из которых была бы очевидна монотонность по каждой стороне.