2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Площадь треугольника
Сообщение26.08.2011, 10:13 


24/08/11

20
Какую наибольшую площадь может иметь треугольник со сторонами

а) $a\le 4, b\le 5, c\le 7$?

б)* $a\le 4, b\le 5, c\le 6$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение26.08.2011, 10:45 


14/01/11
3066
а)$S=10$.
б)$S=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение26.08.2011, 10:47 


24/08/11

20
Sender в сообщении #477838 писал(а):
а)$S=10$.
б)$S=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.

Почему в б)* такой ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение26.08.2011, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Verka-Serdyuchka в сообщении #477839 писал(а):
Почему в б)* такой ответ?
По формуле Гурона. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение27.08.2011, 01:24 


04/02/11
113
Мурманск, Дмитров
В остроугольном треугольнике увеличение любой стороны ведет к увеличению площади.
Пока не понимаю проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение27.08.2011, 16:33 


25/08/11

1074
А почему ведёт? Из какой формулы для площади это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение27.08.2011, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Из ${1\over2}a\cdot b\cdot\sin\gamma$, например. Когда $c$ увеличивается, то - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение27.08.2011, 21:24 


25/08/11

1074
...то по теореме синусов и $\sin \gamma$ увеличивается? А почему радиус увеличивается, а не может уменьшиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение27.08.2011, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Теорема синусов нам тут ничего хорошего не говорит, потому что углы меняются все. А кто такой радиус и откуда он взялся, я вообще не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 07:00 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
sergei1961 в сообщении #478089 писал(а):
А почему ведёт? Из какой формулы для площади это следует?
Из той же формулы Герона, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 08:14 


25/08/11

1074
В формуле Герона, если зафиксировать a,b - то три сомножителя-да, будут возрастать, но четвертый $p-c$-убывать. Извините за глупость, но сразу не вижу.
Можно конечно взять логарифм квадрата площади и производную, но это как-то...
Теорема синусов: $c=2R\sin \gamma$.
Чтобы из неё доказать, что $\sin (\gamma)$ возрастает с ростом $\text{c}$ по приведённой выше формуле для площади надо с радиусом разобраться. Тоже не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 08:25 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Пусть $f(x)=-{x}^{4}+ \left( 2\,{b}^{2}+2\,{a}^{2} \right) {x}^{2}-{b}^{4}+2\,{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{4}$, $f(c)=16S^2$. Имеем $f'(c)=4c(-c^2+b^2+a^2)>0$, поскольку $a^2+b^2>c^2$, если угол $\gamma$ --- острый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 08:43 


25/08/11

1074
Согласен, спасибо. Но я такого сразу не вижу, мне за это не стыдно, поэтому и спрашивал.
И ещё от поставленной задачи остаётся случай тупоугольного-или закономерность с ростом стороны всегда верна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 08:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
sergei1961 в сообщении #478237 писал(а):
... остаётся случай тупоугольного-или закономерность с ростом стороны всегда верна?
Если $\gamma$ --- тупой угол, то $a^2+b^2<c^2$ и $f'(c)<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь треугольника
Сообщение28.08.2011, 09:51 


25/08/11

1074
Родственная задача: доказать, что при фиксированных двух сторонах с ростом третьей растёт радиус описанной окружности-тоже просто решается?
А первоначальную задачу получается пока не решили? В остроугольном треугольнике -решили, берём наибольшие. А в тупоугольном?
Вот интересная задача: найти формулы для площади и радиуса, из которых была бы очевидна монотонность по каждой стороне.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group