Опять про отображения (ТФКП)

[Falex]

Добрый.Пусть по-прежнему $\gamma$ - параметризованная кривая

$$ \gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in [0,|\gamma|]\}. $$

Пусть точки $a,b \notin \gamma$.
Допустим,что $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z| < 1$.
Куда переводит отображение

$$w_{0}(z)=\int_{\gamma }{d\zeta \over \zeta -z} $$

внешность единичного круга (т.е. область $|z>1|$)?
Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$,т.к.

$$ \mid {\rm Im}(w_{0}(a)-w_{0}(b))\mid =\Big| \int^{}_{\gamma }d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b} \Big| \le \Psi (\gamma ;a,b)\le \Psi (\gamma ), $$

где

$$ \Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|, $$

$$ \Psi (a,b;\gamma ) = \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|. $$

Правильно ли я рассуждаю или нет?!

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Пусть по-прежнему $\gamma$ - параметризованная кривая

$$ \gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in [0,|\gamma|]\}. $$

Пусть точки $a,b \notin \gamma$.
Допустим,что $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z| < 1$.
Куда переводит отображение

$$w_{0}(z)=\int_{\gamma }{d\zeta \over \zeta -z} $$

внешность единичного круга (т.е. область $|z>1|$)?
Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$...

Неправильно. Рекомендую Вам немедленно приступить к изучению теоремы Коши.

[Falex]

Вот черт.теорем Коши достаточно много:какую из них?
Почем ж неправильно =)

[Brukvalub]

Если, например, кривая

$$ \gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in [0,|\gamma|]\} $$

является гладким замкнутым контуром, то, по интегральной теореме Коши, внешность единичного круга перейдёт в точку 0.

[Falex]

$\gamma$ - кусочно-гладкая локально спрямляемая.
Ну допустим она не явл. замкнутой...тогда правильно я предположил?!

Добавлено спустя 27 секунд:

$\gamma$ - кусочно-гладкая локально спрямляемая.
Ну допустим она не явл. замкнутой...тогда правильно я предположил?!

Добавлено спустя 6 минут 17 секунд:

А точка $z=0$ будет лежать в полосе $P_0$,т.к. точка $w_0(\infty) = 0$ по принципу сохранения области лежит внутри области $G_0$.

[Brukvalub]

В силу выпуклости единичного круга замените кривую отрезком, соединяющим её концы и сведите изучение вашего вопроса к интегралу по отрезку (или не отрезком, а какой-нибудь другой простой кривой), возможно, это упростит задачу.

[Falex]

А как я нельзя рассуждать?! =(

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$,т.к.

$$ \mid {\rm Im}(w_{0}(a)-w_{0}(b))\mid =\Big| \int^{}_{\gamma }d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b} \Big| \le \Psi (\gamma ;a,b)\le \Psi (\gamma ), $$

где

$$ \Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|, $$

$$ \Psi (a,b;\gamma ) = \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|. $$

-такой ответ для меня немногим отличается от ответа: "переводит куда-то в комплексную плоскость", поскольку мне, например, не очевидна конечность величины

$$ \Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|$$

[Falex]

Brukvalub допустим она конечна!

[Mandel]

А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)

[Brukvalub]

Mandel писал(а):

А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)

раньше речь везде шла о кривой в общепринятом смысле, поэтому Ваш вопрос не имеет смысла.

[Mandel]

Кривая $\gamma$...?

[Brukvalub]

Прямая не удовлетворяет условиям, которые наложил на кривую Falex, поэтому Ваш вопрос не имеет смысла.

[Mandel]

Ну я вроде как про кривую $\gamma$ говорю.

[Brukvalub]

Mandel писал(а):

А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)

Я выделил в Вашем тексте удивившее меня слово синим (оно встречается в нем дважды).