2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Опять про отображения (ТФКП)
Сообщение06.01.2007, 01:23 
Добрый.Пусть по-прежнему $\gamma$ - параметризованная кривая
$$
\gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in
[0,|\gamma|]\}.
$$
Пусть точки $a,b \notin \gamma$.
Допустим,что $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z| < 1$.
Куда переводит отображение
$$w_{0}(z)=\int_{\gamma }{d\zeta \over \zeta -z}
$$
внешность единичного круга (т.е. область $|z>1|$)?
Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$,т.к.
$$
\mid {\rm Im}(w_{0}(a)-w_{0}(b))\mid =\Big|
\int^{}_{\gamma }d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b} \Big|
\le \Psi (\gamma ;a,b)\le \Psi (\gamma ),
$$
где
$$
\Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|,
$$
$$
\Psi (a,b;\gamma ) =  \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|.
$$
Правильно ли я рассуждаю или нет?!

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 09:24 
Аватара пользователя
Falex писал(а):
Пусть по-прежнему $\gamma$ - параметризованная кривая
$$ \gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in [0,|\gamma|]\}. $$
Пусть точки $a,b \notin \gamma$.
Допустим,что $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z| < 1$.
Куда переводит отображение
$$w_{0}(z)=\int_{\gamma }{d\zeta \over \zeta -z} $$
внешность единичного круга (т.е. область $|z>1|$)?
Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$...

Неправильно. Рекомендую Вам немедленно приступить к изучению теоремы Коши.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 12:34 
Вот черт.теорем Коши достаточно много:какую из них?
Почем ж неправильно =)

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 15:14 
Аватара пользователя
Если, например, кривая $$ \gamma =\{\zeta:\; \zeta=z_{\gamma}(s),\; s\in [0,|\gamma|]\} $$ является гладким замкнутым контуром, то, по интегральной теореме Коши, внешность единичного круга перейдёт в точку 0.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 16:33 
$\gamma$ - кусочно-гладкая локально спрямляемая.
Ну допустим она не явл. замкнутой...тогда правильно я предположил?!

Добавлено спустя 27 секунд:

$\gamma$ - кусочно-гладкая локально спрямляемая.
Ну допустим она не явл. замкнутой...тогда правильно я предположил?!

Добавлено спустя 6 минут 17 секунд:

А точка $z=0$ будет лежать в полосе $P_0$,т.к. точка $w_0(\infty) = 0$ по принципу сохранения области лежит внутри области $G_0$.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 16:40 
Аватара пользователя
В силу выпуклости единичного круга замените кривую отрезком, соединяющим её концы и сведите изучение вашего вопроса к интегралу по отрезку (или не отрезком, а какой-нибудь другой простой кривой), возможно, это упростит задачу.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 16:52 
А как я нельзя рассуждать?! =(

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 17:36 
Аватара пользователя
Falex писал(а):
Мое предположение,что переводит в некую область $G_0$,лежащую внутри некоторой полосы $P_0$,ширина которой равна $\Psi(\gamma)$,т.к.
$$ \mid {\rm Im}(w_{0}(a)-w_{0}(b))\mid =\Big| \int^{}_{\gamma }d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b} \Big| \le \Psi (\gamma ;a,b)\le \Psi (\gamma ), $$
где
$$ \Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|, $$
$$ \Psi (a,b;\gamma ) = \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|. $$
-такой ответ для меня немногим отличается от ответа: "переводит куда-то в комплексную плоскость", поскольку мне, например, не очевидна конечность величины $$ \Psi (\gamma ) = sup_{a,b} \int^{}_{\gamma }\Big| d Arg \frac{\zeta -a}{\zeta -b}\Big|$$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 17:48 
Brukvalub допустим она конечна!

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 17:52 
А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 19:06 
Аватара пользователя
Mandel писал(а):
А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)
раньше речь везде шла о кривой в общепринятом смысле, поэтому Ваш вопрос не имеет смысла.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 19:31 
Кривая $\gamma$...?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 20:36 
Аватара пользователя
Прямая не удовлетворяет условиям, которые наложил на кривую Falex, поэтому Ваш вопрос не имеет смысла.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 20:43 
Ну я вроде как про кривую $\gamma$ говорю.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2007, 21:04 
Аватара пользователя
Mandel писал(а):
А что значит прямая $\gamma$ лежит в замыкании круга $z:|z|<1$?Т.е. грубо говоря я рисую прямую и ее график лежит
в круге $|z|<1$? -)
Я выделил в Вашем тексте удивившее меня слово синим (оно встречается в нем дважды).

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group