Симметрическая разность множеств, доказать вложение

[xmaister]

В задаче требуется доказать, что $(A_1\cup\ A_2\cup\ldots\cup A_n)\triangle (B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n)\subset$
$\subset (A_1\triangle B_1)\cup (A_2\triangle B_2)\cup\ldots\cup (A_n\triangle B_n)$

Делал в лоб, по определению.

Записываю определение:
$(x\in A_1\vee x\in A_2\vee\ldots\vee x\in A_n)\bigoplus (x\in B_1\vee x\in B_2\vee\ldots\vee x\in B_n)\Rightarrow$ $(x\in A_1\bigoplus x\in B_1)\vee (x\in A_2\bigoplus x\in B_2)\vee\ldots\vee (x\in A_n\bigoplus x\in B_n)$.
Обзываю $p_i\Leftrightarrow x\in A_i$, $q_i\Leftrightarrow x\in B_i$.
И проверяю на истиность высказывание:
$(p_1\vee p_2\vee\ldots\vee p_n)\bigoplus (q_1\vee q_2\vee\ldots\vee q_n)\Rightarrow$ $(p_1\bigoplus q_1)\vee (p_2\bigoplus q_2)\vee\ldots\vee (p_n\bigoplus q_n)$. Т.к. импликация с ложной посылкой- истина, то высказывание истино, когда $p_i\Leftrightarrow F$ $q_i\Leftrightarrow F$ для любого $i$ или когда одновременно существует $p_i\Leftrightarrow V, q_i\Leftrightarrow V$. Далее когда хотябы одно $p_i\Leftrightarrow V$ а $q_i\Leftrightarrow F$ для всех $i$, то посылка и заключение будут истины, значит и импликация будет истина.

Как обосновать, что я рассмотрел все возможые варианты? Или тут разумнее было делать по другому?

Благодарю.

[Хорхе]

Наверное, по-другому разумнее, да. Зачем одно и то же переписывать несколько раз разнообразными способами? Просто говорите, чтот элемент будет принадлежать левому множеству, если он принадлежит какому-то из множеств $A$ (например, $A_i$) и никакому из $B$, или наборот. В первом случае (достаточно рассмотреть только его) этот элемент принадлежит $A_i\mathop{\triangle}B_i$, а потому и правому множеству.

[xmaister]

Хорхе
Понял, спасибо!