Пример нетривиальной вспомогательной статистики?

[Bridgeport]

Добрый день!

Не мог бы кто-нибудь поделиться примером нетривиальной вспомогательной статистики?

Спасибо!

[--mS--]

А что это?

Впрочем, в английской википедии есть такие примеры: http://en.wikipedia.org/wiki/Ancillary_statistic

[Bridgeport]

В книге Jun Shao написано:

A statistic $V(X)$ is said to be ancillary if its distribution does not depend on the population $P$.

Как я понимаю такая статистика есть константа, прост хотел уточнить, если я что-нибудь упустил?

[--mS--]

Такая статистика не обязательно есть константа, см. ссылку выше.

P.S. Насколько мне помнится, для таких статистик, распределение которых одно и то же в заданном (параметрическом) классе распределений, есть русский термин "свободная статистика". Энциклопедия по ТВиМС называет такие статистики "подобными статистиками". Термин "вспомогательная" отнесён там к "подобным" статистикам, которые дополняют некую статистику, не являющуюся достаточной, до достаточной.

[_hum_]

Да, и стоит обратить внимание, что свойство статистики быть "ancillary" определяется тем, по отношению к какому семейству вероятностных мер она рассматривается (всякая статистика, например, является ancillary по отношению к одноточечному семейству).

[Bridgeport]

Я что-то упускаю. Если взять первый пример из ссылки http://en.wikipedia.org/wiki/Ancillary_statistic:

$E_{\mu}\bar{X}=\mu$

Разве здесь статистика не зависит от меры по которой мы интегрируем?


А извиняюсь, среднее туда не входит...

[_hum_]

Пусть семейство возможных распределений (мер) $\mathcal{P} = \{\mathbf{N}_{\mu,1}\}_{\mu \in \mathbb{R}}$. Тогда вне зависимости от того, какое конкретно распределение из $\mathcal{P} $ имеет с.в. $X_i$, распределение с.в. $\sigma^*^2_n(\omega) = n^{-1} \sum_{i=1}^n \big(X_i(\omega) - \Bar{X}(\omega)\big)^2$ будет одним и тем же. Это озачает, что $\sigma^*_n$ является ancillary по отношению к семейству $\mathcal{P} $.

[Bridgeport]

Всё спасибо! Мне кажется я понимаю!