Скалярное полипроизведение Д. Павлова

[Xaositect]

В.О. в сообщении #477650 писал(а):

Здесь тоже хотелось бы иметь выражение полипроизведения через "норму".

http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_polynomial#Details

-- Чт авг 25, 2011 15:11:29 --

Kallikanzarid в сообщении #477651 писал(а):

Но речь идет об обратном: любая ли норма (или "норма") может быть получена с помощью такой формы?

Ну понятно, что не любая. $\sqrt[3]{|x|^3 + |y|^3}$ не может. Я описал весь класс таких "норм". Гораздо интереснее все-таки вопрос о том, какие свойства нормы сохраняются при таком обобщении.

[Time]

Xaositect

Интервал пространства-времени многими свойствами нормы не обладает, однако именно он играет одну из главных ролей в современной физике. На мой взгляд, интервал четырехмерного псевдофинслерова пространства с метрической функцией Бервальда-Моора нужно сопоставлять не столько с обычной нормой, сколько со свойствами интервала пространства-времени Минковского. И то, что эти свойства близки - некоторые физики и математики, наконец, стали видеть..

Кстати, если у Вашего примера в подкоренном выражении убрать "лишние" символы модуля, то указать скалярное полипроизведение трех векторов, задающее финслерову (вернее, псевдофинслерову) геометрию двумерной плоскости с соответствующей кубической метрической функцией - можно.

[Xaositect]

Time в сообщении #477675 писал(а):

Кстати, если у Вашего примера в подкоренном выражении убрать "лишние" символы модуля, то указать скалярное полипроизведение трех векторов, задающие финслерову (вернее, псевдофинслерову) геометрию двумерной плоскости с соответствующей кубической метрической функцией - можно.

Да, я знаю. Я выше об этом писал.

[bnovikov]

А почему в статье фамилии авторов не в алфавитном порядке? Кокарев примазался или Павлов - большой начальник?

[Time]

bnovikov
Вообще-то, единственная статья в головном посте обсуждаемой темы имеет только одного автора.
Что же касается имеемой Вами ввиду статьи, то бОльшая ее часть написана Кокаревым и потому что именно он так расставил приоритеты (или ответственность). Изменять категорически отказался, почему - спросите у него. Кстати, не он один так поступал. Мне же по большому счету все равно, мое благосостояние не зависит, ни от того как расставлены фамилии, ни от публикаций, ни от иных обычных в мире науки формальных причин. К тому же, начальник я не шибко большой, что бы это стало сколь ни будь значимым поводом.

А других, ближе к существу статьи, у Вас вопросов нет?

[bnovikov]

Time в сообщении #477717 писал(а):

А других, ближе к существу статьи, у Вас вопросов нет?

По существу вопросов нет, т.к. существа не увидел.

[Time]

bnovikov в сообщении #477741 писал(а):

По существу вопросов нет, т.к. существа не увидел.

Ну, бывает..

[Руст]

Xaositect в сообщении #477626 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #477623 писал(а):

Тут идет речь о норме (или "норме"). Норма даже не обязана быть алгебраической.

Тут по определению в первом посте полипроизведение - этто симметричная полилинейная форма. Если ее диагонализовать, то получится алгебраическая форма степени $n$, я пояснил, что любая форма может быть получена таким образом. Т.е. "нормой" м.б. любая функция вида $\sqrt[n]{f(n)}$, где $f$ - форма степени $n$.

Я не согласен с этим. "Норма" должна удовлетворять следующим условиям.
1) Если вектор $x$ измерим, то $|x|\ge 0$ и для любого $\lambda \ge 0$ вектор $\lambda x$ измерим и $|\lambda x|=\lambda |x|.$
2) Если векторы $x,y$ измеримы, то $x+y$ так же измерим, причем в случае Евклидова типа выполняется:
$|x+y|\le |x|+|y|$ (равенство только в случае параллельности),
в случае Минковского типа
$|x+y|\ge |x|+|y|$ (неравенство строгое в случае не параллельности и хотя бы один из них имеет не нулевую длину).

Без этого нельзя построить геометрию (в переводе с греческого вторая часть - измерение). Если мы хотим измерить расстояние от точки А до точки В то мы соединяем разными измеримыми гладкими путями эти точки (если этого сделать нельзя то расстояние не определено) и выбираем экстремальное. В случае Евклидова типа существует наименьший путь, в случае Минковского типа (если существует измеримый путь) существует максимальной длины.
Например, так называемая метрика Чернова не задает геометрии. Вообще метрика, определяемая вырождением одной размерности от четномерной метрики по одной размерности не создает метрику (не выполняется второе условие). Грубо говоря в четномерном пространстве метрика определяемая $\sigma_k$ с нечетным $k$ не удовлетворяет второму условию и не задает никакой геометрии. Не будут существовать ни максимум длины среди измеримых, минимум 0.
Метрика Бервальда-Моора удовлетворяет этим условиям. Однако у меня к нему много других претензий. Основное из которых жесткость.

[В.О.]

Xaositect в сообщении #477654 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneou ... al#Details

Кажется, можно поздравить Time с переоткрытием азов теории форм. Совсем неплохо. Во всяком случае, не трагически позорно. Но тему, по существу, кажется, можно считать закрытой.

bnovikov в сообщении #477707 писал(а):

Кокарев примазался или Павлов - большой начальник?

Врядли автор нас посвятит в нюансы. Однако, по отрывочным данным, почерпнутым с этого форума и сайта http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&genre=31 , дело обстоит, примерно, так.
Павлов платит зарплату Кокареву, как одному из сотрудников финансируемой им организации по исследованию бог знает чего..., в том числе египетских пирамид..., за имитацию научной деятельности. Видимо, Павлов поставил Кокареву задачу о вычислении длины геодезической в придуманном им пространстве. Кокарев, судя по некоторым отзывам, не дурак. Во всяком случае, элементарные задачи решать умеет. Однако интеграл от модуля функции, при вычислении длины геодезической, легкому вычислению не поддается. А зарплату отрабатывать надо. Но точного решения, видимо, никто и не требовал. Поэтому Кокарев, как разумный человек, модуль решил втихаря сбросить и втюхать это дело Павлову.
А Павлова такие детали, видимо, не интересуют. Он по глобальным вопросам. Статья опубликована в его же интернет-журнале. Рецензентов нет.
А там кто знает. Может вместе решили модуль сбросить. Или Павлов сказал: сбрасывай мол, модуль, Кокарев.

Сутуация тянет на хороший анекдот.

[Time]

В.О. в сообщении #477796 писал(а):

Кажется, можно поздравить Time с переоткрытием азов теории форм. Совсем неплохо. Во всяком случае, не трагически позорно. Но тему, по существу, кажется, можно считать закрытой.

Бедняга, не смотря на все попытки Вы так ничего и не поняли..

В.О. в сообщении #477796 писал(а):

Врядли автор нас посвятит в нюансы. Однако, по отрывочным данным, почерпнутым с этого форума и сайта http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&genre=31 ,

Ну, раз уж Вы здесь привели ссылку на мой очерк о больших пирамидах Египта, для полноты картины позволю себе небольшое продолжение:
http://lah-conference.ucoz.com/
ну и это:
http://lah.ru/mast/an-giza2008.htm
http://lah.ru/expedition/egypt2010/hefren.htm
http://lah.ucoz.com/forum/20-2200-8

Правда, боюсь, что кроме злобы и ругательств все это ничего иного не вызовет..

В.О. в сообщении #477796 писал(а):

Павлов платит зарплату Кокареву, как одному из сотрудников финансируемой им организации по исследованию бог знает чего..., в том числе египетских пирамид..., за имитацию научной деятельности. Видимо, Павлов поставил Кокареву задачу о вычислении длины геодезической в придуманном им пространстве. Кокарев, судя по некоторым отзывам, не дурак. Во всяком случае, элементарные задачи решать умеет. Однако интеграл от модуля функции, при вычислении длины геодезической, легкому вычислению не поддается. А зарплату отрабатывать надо. Но точного решения, видимо, никто и не требовал. Поэтому Кокарев, как разумный человек, модуль решил втихаря сбросить и втюхать это дело Павлову.

Такие поразительные дедуктивные способности.. Вы случайно не в ФСБ работаете? Внештатным сотрудником?

В.О. в сообщении #477796 писал(а):

А Павлова такие детали, видимо, не интересуют. Он по глобальным вопросам. Статья опубликована в его же интернет-журнале. Рецензентов нет.

Журнал "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике" издается с 2004 года и не только в интернете, но и "живьем" на бумаге. У него есть подписной индекс и, пусть небольшая, но подписка. Уже сформировался и свой штат рецензентов. Что б Вам совсем поплохело, сообщу, что поданы документы о его включении в ВАКовский список. Есть неплохие шансы, что включат.
У обсуждаемой в данной теме статьи было два рецензента - профессиональных специалистов по финслеровой геометрии: Гарасько и Асанов. Впрочем, Вам это все равно ничего не даст..

[bnovikov]

Все это напоминает рассказ В. Вересаева "Зеленая лошадь"
(http://artevik.narod.ru/misc/greenhorse.html)

[Руст]

Вышеприведенные аксиомы надо дополнить следующими:
3) Все вектора измеримы (для Евклидова типа)
3) Множество измеримых векторов образуют выпуклый конус и содержит n линейно независимых векторов (Минковского типа).
4) Из $|x=0|$ следует $x=0$ (Евклидова типа).
4) Множество векторов $|x|=0$ образует $n-1$ мерный конус (Минковского типа).

С метрикой Чернова $ds^3=\sigma_3(x)$ не все однозначно. Если объявить все векторы с $\sigma_3(x)\ge0$ измеримыми, то аксиомы 2,3 не выполняются. Например для векторов $x=(4,4,4,4), y=(-3,-3,1,1), x+y=(1,1,5,5)$ длина $|x+y|<|x|$ (все длины положительны).

Однако, если ограничится считая измеримыми только вектора с неотрицательными координатами, то как я проверил условия 2,3 выполняются. Нарушается при этом условие 4.
Возможно все условия будут выполнены, если взять в качестве измеримых векторов замыкание множество векторов с $\sigma_3(x)>0$, которые можно соединить непрерывно с векторами с положительными координатами оставаясь всегда $\sigma(x(t))>0$. Если это так, то метрику Чернова можно оставить с соответствующими оговорками.

Заметим, что в этом случае не более одной отрицательной координаты и она по абсолютной величине меньше максимального, соответственно всегда $\sigma_1(x)>0$. Возможно, что истинными измеримыми надо считать вектора $\sigma_1(x)>0, \sigma_3(x)\ge 0.$