Скалярное полипроизведение Д. Павлова

В.О. · 24.08.2011, 17:10

Д.Павлов в статье http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /01-02.pdf вводит формальное обобщение скалярного произведения на несколько векторов. Определение очень простое. Действительная функция от нескольких векторов $(A, B,...Z)$ коммутирующая по всем аргументам и линейная по каждому аргументу называется полипроизведением. Через скалярное полипроизведение определяется "норма" одного вектора $|A| = (A, A,...A)^{\frac 1 n}$ Все это есть в статье на стр.9.
Первый вопрос, который тут должен возникать, является ли это полипроизведение, действительно, обобщением? Может быть, оно является функцией от обычных двойных скалярных произведений? Сейчас я дам положительный ответ на этот вопрос в одном частном случае.
Автор особое значение придает норме $|X| ^4 = x_1x_2x_3x_4$ в четырехмерном пространстве. Вот ей пока и ограничимся. Собственно, все очевидно. Сгруппируем сомножители.
$|X| ^4 = x_1x_2x_3x_4 = (x_1x_2)(x_3x_4 )$
Первое произведение это обычная псевдонорма на плоскости $(x_1,x_2)$ Второе произведение это псевдонорма на плоскости $(x_3,x_4)$ Если перейти в другую систему координат, то можно записать
$|X| ^4 = (x_1^2 - x_2^2) (x_3^2 - x_4^2)$
Итого, Павловская норма есть функция от обычных норм.
Но, правда, мне трудно судить насколько это может быть полезным. В статье сам автор никаких содержательных свойств своей нормы не привел. Но это еще не значит, что их нет.
В пространстве с Павловской нормой любые две точки из одного «октанта» могут быть соединены кривой нулевой длины. Нужно двигаться от точки к точке по ломанной, у каждого звена которой одна координата постоянна. Это странное свойство, похожее на вырожденность.
Хотелось бы разобраться, имеет ли смысл исследовать эту норму. Или стоит забыть о ней, как о тупиковой и бессодержательной. Само по себе определение полипроизведения не лишено некоторого изящества. Но нужно указать его конкретную пользу. Будут ли какие мнения? Аргументированные, разумеется.

Kallikanzarid · 24.08.2011, 21:48

В.О.
Не трогайте каку!

В.О. в сообщении #477453 писал(а):

Действительная функция от нескольких векторов $(A, B,...Z)$ коммутирующая по всем аргументам и линейная по каждому аргументу называется полипроизведением.

Вспомним, что псевдоримановой метрикой называется гладкое билинейное отображение $g: \Gamma(TM \otimes TM) \to \mathbb{R}$ , удовлетворяющее свойствам:
1) Симметричности: $g(X, Y) = g(X, Y)$ ,
2) Невырожденности $g_x(X, -)$ - изоморфизм $T_x M \to T^*_x M$ для любой точки $x \in M$ и любого $X \in T_x M \setminus \{0\}$ .
(Я записал все для псевдоримановой метрики, потому что на моей памяти псевдоскалярное произведение почти нигде не описывается). Очевидно, второе свойство автор никак не обобщает. Обобщением могло бы быть, например, требование того, чтобы фиксация всех аргументов, кроме одного, давала изоморфизм.

В.О. в сообщении #477453 писал(а):

Автор особое значение придает норме $|X| ^4 = x_1x_2x_3x_4$ в четырехмерном пространстве. Вот ей пока и ограничимся.

Ок. Как я понимаю, $x_1, x_2, x_3, x_4$ - это координаты векторов? Не понятно, каким образом из этого получается полипроизведение. Не подскажете? А то читать статью не хочется :)

Цитата:

Хотелось бы разобраться, имеет ли смысл исследовать эту норму. Или стоит забыть о ней, как о тупиковой и бессодержательной.

ИМХО, никаких предпосылок для ее исследования нет, но я сам профан, может и не знаю чего.

В.О. · 25.08.2011, 00:31

Kallikanzarid в сообщении #477505 писал(а):

Не понятно, каким образом из этого получается полипроизведение. Не подскажете?

Ну, да. Какое полипроизведение порождает эту "норму"? Я тоже не придумал. Пропустим пока этот момент. Но не будем забывать.

alcoholist · 25.08.2011, 00:43

В.О. в сообщении #477453 писал(а):

Первый вопрос, который тут должен возникать, является ли это полипроизведение, действительно, обобщением?

Первый вопрос -- является ли $(A,\ldots,A)^{1/n}$ нормой:)

Kallikanzarid · 25.08.2011, 02:45

alcoholist
При четных $n$ , по идее, будет хотя бы выполняться $(\alpha A, \ldots, \alpha A)^{1/n} = |\alpha|(A, \ldots, A)^{1/n}$ . Неравенство треугольника уже вызывает подозрения :)

В.О. · 25.08.2011, 08:25

alcoholist в сообщении #477530 писал(а):

является ли ... нормой

Врядли. Будет выполняться только часть свойств. Я старался писать "норма" в кавычках. Но для каких-то целей этого может быть достаточно.

Time · 25.08.2011, 09:39

В.О. в сообщении #477526 писал(а):

Ну, да. Какое полипроизведение порождает эту "норму"? Я тоже не придумал. Пропустим пока этот момент. Но не будем забывать.

Это же элементарно.
Для четырех векторов $A,B,C,D$ их полипроизведение, что бы давать метрическую функцию нужного класса в одном из базисов имеет вид:
$(A,B,C,D)=1/24(a_1b_2c_3d_4+a_2b_1c_3d_4+...+a_4b_3c_1d_2+a_4b_3c_2d_1)$

При подстановке в это полипроизведение четыре раза одного и того же вектора, например, $A$ получаем:
$(A,A,A,A)=a_1a_2a_3a_4$ ,
то есть четвертая степень интервала этого вектора в пространстве с метрикой Бервальда-Моора.

Вот теперь и попробуйте скалярное полипроизведение (A,B,C,D) свести к функциям от нескольких скалярных произведений, например, (A,B) и (C,D) или любых других.

Постоянное упоминание "Павловский", "Павловская" и т.п. режет слух и потому не желательно. Примерийте аналогчное использование с поводом и без повода своей фамилии, может станет понятнее..

В.О. · 25.08.2011, 10:46

Time
Тут разберутся и без Ваших нервных комментариев. Если опять начнете нервировать обстановку буду игнорировать Ваши сообщения. Пишите без эмоциональных комментариев типа "элементарно".
Первый раз вижу, чтобы Вы что-то доказали.
В статье предлагается еще несколько "норм" без доказательства, что они порождаются полипроизведением.
Следующий естественный вопрос, каким условиям должна удовлетворять "норма", чтобы она порождалась неким полипроизведением?
Для обычной нормы это условие $|A +B|^2 + |A-B|^2 = 2|A|^2 +2|B|^2$
Есть ответ?
Если ответа нет, то напишите одно слово -"нет". Монологов про Эйнштейна и блестящие перспективы не надо.

Time · 25.08.2011, 11:21