Чем так страшен матан

[nnosipov]

ewert,интересные Вы раскопки произвели. Добавлю ещё одну ссылку: Квант, 2001, № 2, стр. 32-33. Там совсем как-то коротко (тоже с четверичными дробями), но, полагаю, без вранья (автора статьи хорошо знаю).

[Xaositect]

ewert в сообщении #477624 писал(а):

Но до этого мне уже не добраться (как минимум лень). Вот и любопытно: действительно ли ван дер Варден использовал именно десятичные дроби?... Очень похоже на то, но приятно было бы быть уверенным.

http://resources.metapress.com/pdf-preview.axd?code=rn2324v58mu92688&size=largest

[ewert]

drozdov_mihail в сообщении #477631 писал(а):

Ещё в книгу Ландау можно заглянуть.

Я всё-таки ставлю на Титчмарша: его книжка хоть на два года, но более древняя, чем у Ландау, и в этом смысле (в данном случае) авторитетнее.

У Ландау тот же пример, что и у Гелбаума-Олмстеда (с четвёрками). Но доказательство совсем уж чудовищное, читать просто невозможно. Не понимаю, что они там все трое крутят; всё же совсем просто. Вот имеем:

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\varphi_k(x),\quad \varphi_k(x)=4^{-k}\varphi_0(4^kx),\quad \varphi_0(x)=|x|\ (\forall x\in[-\frac12;\frac12])$

и дальше продолжается по периодичности, т.е. $\varphi_0(x+m)\equiv\varphi_0(x)\ (\forall m\in\mathbb Z).$ Функции $\varphi_k(x)$ обладают следующими свойствами:

1) $\varphi_k(x)$ является $4^{-k}$-периодической, как и все следующие;
2) эти функции кусочно-линейны, причём длина каждого участка линейности для $\varphi_k(x)$ есть $\frac{4^{-k}}{2}$;
3) каждый участок линейности функции $\varphi_k(x)$ целиком содержится в одном из участков линейности любой предыдущей функции;
4) на каждом участке линейности каждой из функций $\varphi_k(x)\equiv1$ или $\varphi_k(x)\equiv-1.$

Пусть теперь $x_0$ -- произвольная фиксированная точка. Для каждого $n$ обозначим $h_n=\pm4^{-n}$, выбирая в каждом случае знак так, чтобы точки $x_0$ и $x_0+h_n$ лежали на одном и том же участке линейности функции $\varphi_{n-1}(x)$ (это возможно, т.к. длина такого участка есть $2\cdot4^{-n}$). Тем более эти две точки окажутся на одном и том же участке линейности для всех предыдущих функций. Это означает, что каждое из чисел $p_k\equiv\frac{\varphi_k(x_0+h_n)-\varphi_k(x_0)}{h_n}$ при $k\leqslant n-1$ равно или плюс, или минус единице. А для всех следующих функций $\varphi_k(x)$ аналогичное отношение равно нулю в силу $|h_n|$-периодичности этих функций. Т.е. последовательность $\delta_n\equiv\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}p_k$ не является сходящейся -- просто потому, что $|\delta_{n+1}-\delta_n|=|p_n|=1\not\to0.$ Вот и всё.

-- Чт авг 25, 2011 17:02:48 --

nnosipov, я не ихний вариант тут подсочинил?... (естественнее вроде и некуда)

Xaositect, спасибо. Значит, я угадал -- ван дер Варден был всё-таки десятичным, а Титчмарш честным.

[nnosipov]

ewert в сообщении #477686 писал(а):

nnosipov, я не ихний вариант тут подсочинил?... (естественнее вроде и некуда)

Похоже, что да. Во всяком случае, также коротко и тоже противоречие с чётностью.

[ewert]

nnosipov в сообщении #477700 писал(а):

Похоже, что да. Во всяком случае, также коротко и тоже противоречие с чётностью.

Нет, не совсем. Спиров практически переписал доказательство Гелбаума-Олмстеда, немножко другими словами и обозначениями. Я, конечно, по существу делал практически то же (да и трудно что-то другое здесь было бы придумать), только расписывал подробнее и с другим заключительным шагом. Который, кстати говоря, формально неверен, но его нетрудно привести в чувство: если $x_0$ -- бесконечная четверичная дробь, то он всё-таки верен, а для конечных дробей всё и без того ясно. Впрочем, с чётностью всё же действительно лучше.