определение Grad ? (поверхностный градиент)

[reseacher2011]

Подскажте, пожайлуста, где можно найти определение поверхностного градиента?

P.S. конечно догадываюсь, что это что-то такое ${\rm Grad} f(x) = \sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial f(x)}{\partial \boldsymbol{\tau}_i(x)}\boldsymbol{\tau}_i$

[Kallikanzarid]

reseacher2011
В смысле, градиента на поверхности? Для этого нужна метрика: $\operatorname{grad} f := \mathrm{d}f^\sharp$, где $(-)^\sharp$ - оператор поднятия индекса, обратный оператору $(-)^\flat: x \mapsto g(-, x)$. Метрика на поверхности $M$ обычно определятся с помощью кодифференциала вложения $i: M \to \mathbb{R}^n$, то есть метрика имеет вид $(X, Y) \mapsto g(i_*X, i_*Y)$, в локальных координатах вы просто заменяете $\mathrm{d}x^i$ в метрике на $\mathbb{R}^n$ соответствующими полными дифференциалами.

По-моему, вы написали правильно, хотя нотация производной довольно странная, там должна стоять координатная производная :)

[мат-ламер]

reseacher2011 в сообщении #477411 писал(а):

Подскажте, пожайлуста, где можно найти определение поверхностного градиента?

Это случаем не производная Ли?

[Kallikanzarid]

мат-ламер в сообщении #477444 писал(а):

Это случаем не производная Ли?

Это было бы довольно странное название для производной Ли :)

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #477421 писал(а):

обратный оператору .

сопряженный?

-- Чт авг 25, 2011 00:08:50 --

судя по вики, это просто проекция градиента на касательную плоскость

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #477516 писал(а):

сопряженный?

Обратный (типа ): ограничение $(-)^\flat: \Gamma(TM) \to \Gamma(T^*M)$ на каждый слой является изоморфизмом векторных пространств, поэтому мы можем построить $(-)^\sharp: \Gamma(T^*M) \to \Gamma(TM)$ такой, что $X^{\flat \sharp} = X$ для любого $X \in \Gamma(TM)$ и $\omega^{\sharp \flat} = \omega$ для любого $\omega \in \Gamma(T^*M)$. Эти отображения можно также считать изоморфизмами модулей и, ЕМНИП, изоморфизмами векторных расслоений.

UPD:

Цитата:

судя по вики, это просто проекция градиента на касательную плоскость

Это если функция определена на всем $\mathbb{R}^n$.

P.S.: вообще градиент - довольно глупая идея, дифференциал лучше для всех целей.