1. У нас есть 100 шариков: 38 из них покрашены в красный цвет, 62 – в синий. В это схеме у Вас нет никаких вероятностей. Совсем. Стало быть, нет и распределения вероятностей.
2. У нас есть 100000000 шариков: 38123567 из них покрашены в красный цвет, 61876433 – в синий. Та же песня: вероятность вместе со своей теорией не при делах.
3. У нас бесконечно много шариков: 38% из них покрашены в красный цвет, 62% - в синий. Тут уже приходится чесать репу: а каков смысл выражения «38% от бесконечности»? Это сколько? Ведь хоть 80% от бесконечности, хоть 0.0001% от нее же – все равно это бесконечно много. Получается, что вопрос «сколько» вроде как бессмысленный в данном контексте. С другой стороны, такой ответ, как 38%, производит впечатление осмысленности (иллюзия понимания!)
Попробуем все же придать некий смысл ответу, который нам кажется осмысленным. Предположим, что мы из описанной бесконечной совокупности вытащим один шарик. Прицепить к вытащенному шарику вероятность не получится. Он окажется либо синим, либо красным, но не разноцветным: на 38% красным и на 62% синим. Продолжим таскать шарики. Так как наше множество бесконечно, то с ним в процессе вытаскиваний ничего не случится. Через некоторое время у нас накопится достаточно много шаров. Интуитивно ясно, что количество красных и синих шариков будет не очень далеко от отношения 38:62. По крайней мере, если мы вытащим достаточно много шариков.
Интуиция нас здесь не подводит. Если, к примеру, под красными шариками понимать молекулы кислорода, под синими – молекулы азота, а процедура вытаскивания – вдох, то не вызывает сомнения, что во вдыхаемом воздухе соотношение кислорода и азота такое же, что и в окружающем воздухе. С другой стороны, если шариков вытащено относительно мало, то отношение скорее всего будет нарушено. В предельном случае, когда шарик всего один, то доля красных шариков может принимать только два значения: 0 и 1. Вот всеми таким делами и занимается математическая теория вероятностей. Она, например, нам подсказывает, что в описанном выше эксперименте нельзя исключить и такого исхода, когда все вытащенные 100000000 шариков окажутся красными. Или синими. Но в реальности такого никогда не происходит. Почему-то. Впрочем, это совсем другая тема.
Для чего все это написано? Да еще так длинно? Для того, чтобы напомнить об очень толстом обстоятельстве, которому часто не уделяется должного внимания (имею в виду процесс обучения). Мне так кажется, что в преподавании теории вероятностей не математикам это обстоятельство игнорируется сплошь и рядом. Обсуждение на этой ветке мне показалось примером такой забывчивости. Вот и решил напомнить.
Для того, что бы задать вероятностное пространство нужно: 1. Задать множество элементарных событий. 2. Задать на нем сигма-алгебру событий 3. Задать вероятностную меру на сигма-алгебре событий.
Толстое обстоятельство, на которое я хотел бы обратить внимание, связано с пунктом №1: элементы исходного множества – это события. С самого начала мы должны определиться, что понимать под элементарным испытанием и его исходом. Если не математикам, может быть, и не стоит рассказывать о вероятностном пространстве (лично мне кажется, что все же стоило бы – особенно о сигма-алгебре), то уж об этом обстоятельстве растолковывать нужно обязательно.
Revenons à nos moutons. То есть вернемся к вопросу ветки. Но сначала одна оговорка. В случае бесконечной совокупности не имеет значения, будем ли мы возвращать шар (или шары) перед каждым повторением эксперимента. В случае малой совокупности (всего 100 шаров) возвращать нужно. Иначе мы получим не другой тип распределения, а тот же тип, но с меняющимися в процессе испытаний параметрами. В случае большой, но конечной совокупности возвращать тоже нужно, но этим можно пренебречь.
1. Классическая схема испытаний Бернулли. Из совокупности извлекается ровно одни шар. Это шар может быть только одного какого-то цвета. Вероятность вытащить шар определенного цвета описывается распределением Бернулли. Во всех трех вариантах.
2. Мы за один раз вытаскиваем N шаров. Среди них N1 шаров может оказаться красного цвета, а N2=N–N1 – синего. Можно говорить о двух распределения вероятностей – одно для N1, а другое для N2. Оба распределения будут принадлежать к одному и тому же типу, но иметь отличающиеся параметры.
В случае бесконечной совокупности будем иметь дело с полиномиальным распределением: B(N,0.38) для N1 и B(N,0.62) для N2.
В случае большой конечной совокупности результат, строго говоря, будет иным. Но приближенно его можно считать совпадающим с результатом для бесконечной совокупности. Собственно наше согласие с точностью совпадения и определяет в данном случае, что можно считать большой совокупностью.
В случае малой совокупности картина изменится – мы будем иметь дело с гипергеометрическими распределениями.
Итак. В ситуации, описанной в начале сообщения под №1, говорить о вероятности бессмысленно. Вероятностный смысл появляется, если мы задаем некую процедуру случайного испытания. Распределение вероятностей будет определяться не только количеством шариков в мешке и способом их раскраски, но и процедурой случайного испытания. _____________________________________________________
|