Случайная выборка 100 человек - вид распределения

[sasha_vertreter]

Добрый день,

вот дано только такое предложение

"Сделана случайная выборка 100 человек из большой популяции. В ней 38 оказались больными, 62 - нет. "

- могу я на основе данной информации сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению? (как в классической задаче с бракованными лампочками в партии коробок с ламочками)?

[arseniiv]

(А разве не гипергеометрическое? Выбираем же без возвращения.)

[sasha_vertreter]

arseniiv в сообщении #477296 писал(а):

(А разве не гипергеометрическое? Выбираем же без возвращения.)

вот я тоже так подумал, но вот непонятно: если ничего не сказано, то значит действительно без возвращения?...

[alcoholist]

sasha_vertreter в сообщении #477293 писал(а):

могу я на основе данной информации сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению?

нет... распределение может быть каким угодно

только зная его вид(!!!) по данной информации можно оценить параметры распределения

-- Ср авг 24, 2011 00:13:00 --

при достаточно большой выборке гипергеометрическое и биномиальное совпадают

[Александрович]

sasha_vertreter в сообщении #477293 писал(а):

вот дано только такое предложение

"Сделана случайная выборка 100 человек из большой популяции. В ней 38 оказались больными, 62 - нет. "

- могу я на основе данной информации сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению? (как в классической задаче с бракованными лампочками в партии коробок с ламочками)?

Можно, всего два исхода.

[bnovikov]

В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, гл.13, $19.

[alisa-lebovski]

Да, в подобных задачах имеется в виду биномиальное.

[DoctorZLO]

sasha_vertreter в сообщении #477293 писал(а):

сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению?

Вы, наверное, имели в виду в популяции?

[sasha_vertreter]

DoctorZLO в сообщении #477352 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #477293 писал(а):

сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению?

Вы, наверное, имели в виду в популяции?

да да, в популяции

спасибо!

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #477293 писал(а):

- могу я на основе данной информации сделать вывод, что распределение количества заболевших в выборке подчинено биноминальному распределению?

Формально -- не можете. Фактически -- это подразумевается.

arseniiv в сообщении #477296 писал(а):

(А разве не гипергеометрическое? Выбираем же без возвращения.)

Слово "большая" или не имеет вовсе никакого смысла, или если имеет, то означает независимость выбора.

[arseniiv]

ewert в сообщении #477366 писал(а):

Слово "большая" или не имеет вовсе никакого смысла, или если имеет, то означает независимость выбора.

Перечитал первое сообщение. Думал, там выборка из 100 человек. Тогда, конечно, биномиальное.

[sasha_vertreter]

я тут опять кажется в трех соснах запутался:
пусть $p*=\frac{k*}{n}=\frac{32}{100}$ и тогда $q*=(1-p*)$
так как $n=100$ мы можем для вычисления доверительного интервала для пропорции заболевших использовать тот факт, что если $X_n$ ~ $Bin(p,n)$, $p \in (0,1)$, то $X_n$ ~ $N(np, npq)$.

Как я понимаю, для пропорции $Y_n = \frac{X_n}{n}$ справедливо $Y_n$ ~ $N(p*,\frac{p*q*}{n})$ (а справедливо ли?).

Но дальше заблудился: в последнем написании нормального распределения $\frac{p*q*}{n}$ - это же не выборочное среднее квадратическое отклонение $s^2$ - верно? и вообще можно ли оперировать с оценками $p*$ и $q*$ так же как с $p$ и $q$ в написании законов распределения выше?

[Sefko]

1. У нас есть 100 шариков: 38 из них покрашены в красный цвет, 62 – в синий.
В это схеме у Вас нет никаких вероятностей. Совсем. Стало быть, нет и распределения вероятностей.

2. У нас есть 100000000 шариков: 38123567 из них покрашены в красный цвет, 61876433 – в синий.
Та же песня: вероятность вместе со своей теорией не при делах.

3. У нас бесконечно много шариков: 38% из них покрашены в красный цвет, 62% - в синий.
Тут уже приходится чесать репу: а каков смысл выражения «38% от бесконечности»? Это сколько? Ведь хоть 80% от бесконечности, хоть 0.0001% от нее же – все равно это бесконечно много. Получается, что вопрос «сколько» вроде как бессмысленный в данном контексте. С другой стороны, такой ответ, как 38%, производит впечатление осмысленности (иллюзия понимания!)

Попробуем все же придать некий смысл ответу, который нам кажется осмысленным.
Предположим, что мы из описанной бесконечной совокупности вытащим один шарик. Прицепить к вытащенному шарику вероятность не получится. Он окажется либо синим, либо красным, но не разноцветным: на 38% красным и на 62% синим.
Продолжим таскать шарики. Так как наше множество бесконечно, то с ним в процессе вытаскиваний ничего не случится.
Через некоторое время у нас накопится достаточно много шаров. Интуитивно ясно, что
количество красных и синих шариков будет не очень далеко от отношения 38:62. По крайней мере, если мы вытащим достаточно много шариков.

Интуиция нас здесь не подводит.
Если, к примеру, под красными шариками понимать молекулы кислорода, под синими – молекулы азота, а процедура вытаскивания – вдох, то не вызывает сомнения, что во вдыхаемом воздухе соотношение кислорода и азота такое же, что и в окружающем воздухе.
С другой стороны, если шариков вытащено относительно мало, то отношение скорее всего будет нарушено. В предельном случае, когда шарик всего один, то доля красных шариков может принимать только два значения: 0 и 1.
Вот всеми таким делами и занимается математическая теория вероятностей. Она, например, нам подсказывает, что в описанном выше эксперименте нельзя исключить и такого исхода, когда все вытащенные 100000000 шариков окажутся красными. Или синими. Но в реальности такого никогда не происходит. Почему-то. Впрочем, это совсем другая тема.

Для чего все это написано? Да еще так длинно?
Для того, чтобы напомнить об очень толстом обстоятельстве, которому часто не уделяется должного внимания (имею в виду процесс обучения). Мне так кажется, что в преподавании теории вероятностей не математикам это обстоятельство игнорируется сплошь и рядом. Обсуждение на этой ветке мне показалось примером такой забывчивости. Вот и решил напомнить.

Для того, что бы задать вероятностное пространство нужно:
1. Задать множество элементарных событий.
2. Задать на нем сигма-алгебру событий
3. Задать вероятностную меру на сигма-алгебре событий.

Толстое обстоятельство, на которое я хотел бы обратить внимание, связано с пунктом №1: элементы исходного множества – это события. С самого начала мы должны определиться, что понимать под элементарным испытанием и его исходом. Если не математикам, может быть, и не стоит рассказывать о вероятностном пространстве (лично мне кажется, что все же стоило бы – особенно о сигма-алгебре), то уж об этом обстоятельстве растолковывать нужно обязательно.

Revenons à nos moutons. То есть вернемся к вопросу ветки.
Но сначала одна оговорка. В случае бесконечной совокупности не имеет значения, будем ли мы возвращать шар (или шары) перед каждым повторением эксперимента. В случае малой совокупности (всего 100 шаров) возвращать нужно. Иначе мы получим не другой тип распределения, а тот же тип, но с меняющимися в процессе испытаний параметрами.
В случае большой, но конечной совокупности возвращать тоже нужно, но этим можно пренебречь.

1. Классическая схема испытаний Бернулли.
Из совокупности извлекается ровно одни шар. Это шар может быть только одного какого-то цвета. Вероятность вытащить шар определенного цвета описывается распределением Бернулли. Во всех трех вариантах.

2. Мы за один раз вытаскиваем N шаров.
Среди них N1 шаров может оказаться красного цвета, а N2=N–N1 – синего.
Можно говорить о двух распределения вероятностей – одно для N1, а другое для N2. Оба распределения будут принадлежать к одному и тому же типу, но иметь отличающиеся параметры.

В случае бесконечной совокупности будем иметь дело с полиномиальным распределением: B(N,0.38) для N1 и B(N,0.62) для N2.

В случае большой конечной совокупности результат, строго говоря, будет иным. Но приближенно его можно считать совпадающим с результатом для бесконечной совокупности. Собственно наше согласие с точностью совпадения и определяет в данном случае, что можно считать большой совокупностью.

В случае малой совокупности картина изменится – мы будем иметь дело с гипергеометрическими распределениями.

Итак.
В ситуации, описанной в начале сообщения под №1, говорить о вероятности бессмысленно.
Вероятностный смысл появляется, если мы задаем некую процедуру случайного испытания.
Распределение вероятностей будет определяться не только количеством шариков в мешке и способом их раскраски, но и процедурой случайного испытания.
_____________________________________________________