Множество посследовательностей

[xmaister]

(Оффтоп)

Т.е. я так понял, что эта книга не катит, чтобы выучить основы теории множеств. Не могли бы Вы тогда посоветовать, что почитать по этому вопросу.

[ewert]

xmaister в сообщении #477136 писал(а):

Рассматриваю произвольные $I_k^{i_k}, I_m^{i_m}$. Подставляю вместо $i_k,i_m$ 1 или 0. Всего 4 варианта. Их пересечение всегда не пусто. Получается, что $I_1,\ldots ,I_n$- независима. Не допускаю ли я тут логической ошибки?

Вестимо, допускаете. Из непустоты пересечения любой пары формально вовсе не следует непустота пересечения всего набора. Или, если угодно: Вы убедились в "попарной незавсимости" этих множеств, но вовсе не в "независимости в совокупности", а последнее требование -- существенно более жёсткое.

-- Вт авг 23, 2011 14:40:25 --

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #477152 писал(а):

Т.е. я так понял, что эта книга не катит, чтобы выучить основы теории множеств.

Я этого вовсе не утверждал. Мне лишь категорически не нравится их терминология. Но я и не специалист в теории множеств; возможно, что с их личной точки зрения -- вполне сойдёт.

[Gortaur]

ewert
Посоветовали бы что-нибудь современное, там бывает интереснее написано. Я сам, к сожалениею, теорию множеств в курсе ОТМИ прошел, для моих нужд пока хватает и нового не читал.

xmaister
Смотрите, пусть $I = I_1\cap...\cap I_n$. Если множества независимы, что $I$ непусто - это одно из возможных пересечений. Теперь пусть $I$ не пусто. Следует ли из этого независимость множеств?

Допустим, независимость не...

[xmaister]

Gortaur
Т.е. предположим что $S=\varnothing$. Тогда существуют два таких множества из набора $A_k^{k_i}\cap A_m^{m_i}=\varnothing$. Но из исловия следует, что $A_k^{k_i}\cap A_m^{m_i}\ne\varnothing$. Противоречие. Так?

[ewert]

Gortaur в сообщении #477161 писал(а):

Посоветовали бы что-нибудь современное, там бывает интереснее написано.

Не могу: я ж сказал, что неспециалист. Для моих целей вполне хватает "наивной" теории множеств (воспринимаемой, естественно, с минимально необходимой осторожностью).

Gortaur в сообщении #477161 писал(а):

xmaister
Смотрите, пусть $I = I_1\cap...\cap I_n$. Если множества независимы, что $I$ непусто - это одно из возможных пересечений. Теперь пусть $I$ не пусто. Следует ли из этого независимость множеств?

Это выстрел как-то не в ту степь. В условиях задачки под $I$ понимается единичный куб, под $I_k$ -- его разнонаправленные половинки, а под независимостью этих половинок -- непустота любого из пересечений $I_1^{i_1}\capI_2^{i_2}\cap\ldots\capI_n^{i_n}$, где, в свою очередь, через $A^0$ принято обозначать эдак экзотически само множество $A$, а через $A^1$ -- его дополнение $\overline{A}$. Всё это xmaister вполне понимает, только несколько легкомысленно полагает, что непустота всего произведения как-то сводится к непустоте парных пересечений.

-- Вт авг 23, 2011 15:23:40 --

xmaister в сообщении #477163 писал(а):

Тогда существуют два таких множества из набора $A_k^{k_i}\cap A_m^{m_i}=\varnothing$. Но из исловия следует, что $A_k^{k_i}\cap A_m^{m_i}\ne\varnothing$.

Ну здесь-то уже ничто и ни в каком смысле вообще ниоткуда не следует, поскольку Вы перепутали порядки индексов.

[Gortaur]

ewert
Тогда извините, а какие значения может принимать $i_k$ и что значит $A^2$?

[ewert]

Gortaur в сообщении #477172 писал(а):

а какие значения может принимать $i_k$

Только $0$ и $1$.

Gortaur в сообщении #477172 писал(а):

и что значит $A^2$?

Соответственно -- ничего не значит.

(Это был 7-й параграф 1-й главы "Конституенты", так они обзывают вот те самые произведения с якобы степенями; а в нём -- 2-е упражнение на стр.35.)

[Someone]

xmaister в сообщении #477152 писал(а):

Т.е. я так понял, что эта книга не катит, чтобы выучить основы теории множеств. Не могли бы Вы тогда посоветовать, что почитать по этому вопросу.

Не знаю, с чего Вы взяли такое. Мне книга нравится. Авторы - выдающиеся специалисты. Единственно обратите внимание, что Куратовский с Мостовским, в отличие от современного подхода, не пользуются аксиомой регулярности (фундирования), но зато вводят аксиому реляционных типов.

Gortaur в сообщении #477172 писал(а):

ewert
Тогда извините, а какие значения может принимать $i_k$ и что значит $A^2$?

В контексте обсуждаемой задачи ничего не значит. Контекст такой. Фиксируется универсум - некоторое непустое множество, которое обозначается символом $1$. Для произвольного его подмножества $A\subseteq 1$ определяем $A^0=A$ и $A^1=1-A$. Если заданы $n$ множеств $A_1,A_2,\ldots A_n\subseteq 1$, то всевозможные множества вида $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}$ называются конституентами. Если все $2^n$ конституент являются непустыми, то множества $A_1,A_2,\ldots A_n$ называются независимыми. К теории вероятностей это, естественно, не имеет прямого отношения.

В данной задаче достаточно указать хотя бы одну точку для каждой конституенты.

[ewert]

Someone в сообщении #477179 писал(а):

Если все $2^n$ конституент

Между прочим, Вы им противоречите: они зачем-то считают, что констинуент может быть и меньше, чем $2^n$. Мне это тоже совершенно не нравится, но формально -- имеют право...

[xmaister]

Т.е. если рассмотреть произвольную конституенту $S=A_1^{i_1}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}$, то точка $K=\{k_1,k_2,\ldots ,k_n\}$ будет принадлежать $S$, если взять $k_m=1$, если $i_m=0$ и $k_m=0$, если $i_m=1$. Теперь правильно?

[ewert]

xmaister в сообщении #477183 писал(а):

Теперь правильно?

Да, этого достаточно.

[xmaister]

Всем спасибо за помощь!

[Someone]

ewert в сообщении #477182 писал(а):

Между прочим, Вы им противоречите: они зачем-то считают, что констинуент может быть и меньше, чем $2^n$. Мне это тоже совершенно не нравится, но формально -- имеют право...

Тут какие-то терминологические неоднозначности. Нужно догадаться, что, говоря о различных конституентах, авторы имеют в виду неравенство $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}\neq A_1^{j_1}\cap A_2^{j_2}\cap\ldots\cap A_n^{j_n}$, а не $(i_1,i_2,\ldots,j_n)\neq(j_1,j_2,\ldots,j_n)$, как, видимо, мы с Вами ожидаем. Разумеется, равенство $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}=A_1^{j_1}\cap A_2^{j_2}\cap\ldots\cap A_n^{j_n}$ при неравенстве $(i_1,i_2,\ldots,j_n)\neq(j_1,j_2,\ldots,j_n)$ возможно только в случае, когда обе конституенты пусты.

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #477190 писал(а):

Тут какие-то терминологические неоднозначности.

Ну да, я так и сказал. Формально к ним не придерёшься, но стилистически это выглядит крайне неудачно. Во-первых, при этом довольно странно звучит исходное определение "Каждое множество вида $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}$..." -- гораздо уместнее было бы "Каждое множество, которое может быть представлено в виде $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}$...". Во-вторых, тем самым они отсекают для себя даже возможность сформулировать вот это самое Ваше утверждение (о пустоте любых совпадающих констинуент) -- вполне содержательное, хоть и простое. Ну и другие шероховатости можно найти; впрочем, это всё лишь стилистика.