Множество посследовательностей

[xmaister]

Здравствуйте! Подскажите как решить задачу:
Пусть $I$- единичный $n-$мерный куб, т.е. множество таких последовательностей $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$, что $0\leqslant x_i\leqslant 1$, $i=0,1,2\ldots ,n$. Пусть $I_m$ состоит из последовательностей $(x_1, \ldots ,x_n)\in I$ для которых $\frac12\leqslant x_m\leqslant 1$. Требуется доказать, что $I_1,\ldots I_n$- независимы.

Благодарю.

[Gortaur]

Распишите определение независимости для тел, а после этого посмотрите чему равен объем исходного куба, чем равен объем тела $I_k$ и чему равен объем их пересечения.

[nnosipov]

Берём определения и применяем их. Это же как дважды два.

[xmaister]

Ну применяю определение независисти $I_1,\ldots ,I_n$. Т.е. все множества $I_1^{i_1}\cap\ldots\cap I_n^{i_n}$ должны быть не пустыми. Если $i_k=0$ для любого $k$ то понятно, что они будут не пустыми. Почему они будут не пустыми, если $i_k$ совершенно произвольные- непонятно...

[Gortaur]

xmaister
Я думаю, что определение независимости - $V(I_{k_1}\cap...\cap I_{k_m}) = V(I_{k_1})\cdot...\cdot V(I_{k_m})$.

[xmaister]

(Оффтоп)

Gortaur, в книге которую я сейчас читаю дано именно такое, как я написал. А что такое $V(I_{k_1})$?

[ewert]

xmaister в сообщении #477115 писал(а):

Т.е. все множества $I_1^{i_1}\cap\ldots\cap I_n^{i_n}$ должны быть не пустыми.

Начните с того, что множеств $I_1^{i_1},\ldots,I_n^{i_n}$ у Вас вообще нет -- есть лишь $I_{i_1},I_{i_2},\ldots,I_{i_k}$ для произвольных наборов $\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}$ разных индексов. Потом можете вспомнить о том, что непустота тут, говоря формально, вовсе не при чём.

-- Вт авг 23, 2011 12:25:47 --

xmaister в сообщении #477120 писал(а):

в книге которую я сейчас читаю дано именно такое, как я написал.

А какую книгу Вы сейчас читаете?... В частности, если там говорят и впрямь о "последовательностях" -- выкиньте эту книгу немедленно: это называется векторами.

[xmaister]

(ewert)

К. Куратовский, А. Мостовский- Теория множеств. Она что, плохая?

[Gortaur]

xmaister
Объем. Т.е. по определению из книги множества независимы, если имеют непустое пересечение?

[xmaister]

Gortaur
Ну да, когда все $2^n$ возможных пересечений не пусто.

Там ещё написано, что $S=A_1^{i_1}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}=A_1^{j_1}\cap\ldots\cap A_n^{j_n}\Rightarrow S=\varnothing$, если существуют различные $i_k,j_k$, ну это понятно почему...

[Gortaur]

xmaister
Как будто бы достаточно рассмотреть просто самое большое пересечение, нет?

[xmaister]

Вроде получилось
Рассматриваю $S=I_1^{i_1}\cap\ldots\cap I_n^{i_n}$. $(S=\varnothing)\Rightarrow (\exists I_k^{i_k},I_m^{i_m}: I_k^{i_k}\cap I_m^{i_m}=\varnothing)$
Рассматриваю произвольные $I_k^{i_k}, I_m^{i_m}$. Подставляю вместо $i_k,i_m$ 1 или 0. Всего 4 варианта. Их пересечение всегда не пусто. Получается, что $I_1,\ldots ,I_n$- независима. Не допускаю ли я тут логической ошибки?

-- 23.08.2011, 13:35 --

Gortaur
Да, все варианты этих пересечений. Ни одно не должно быть пустым.

[Gortaur]

xmaister
Подумайте, достаточно ли рассмотреть просто пересечение всех множеств.

[xmaister]

Gortaur
А разве нет? Я же рассматриваю произвольное пересечение вида: $A_1^{i_1}\cap\ldots\cap A_n^{i_n}$.

[ewert]

xmaister в сообщении #477124 писал(а):

К. Куратовский, А. Мостовский- Теория множеств. Она что, плохая?

Не знаю, я её не читал. Во всяком случае, термин "независимые множества" -- весьма экстравагантен. Поскольку он жёстко закреплён за теорией вероятностей (и там независимость событий вовсе не сводится к "независимости" множеств в смысле Куратовского-Мостовского: независимость событий -- требование, в принципе, гораздо более жёсткое, но изредка и чуть-чуть более слабое). И уж называть точки или там векторы "последовательностями" -- совсем неприлично.

Ну очевидно, что любое такое пересечение не пусто, т.к. оно описывается вполне явно. Принадлежность точки пересечению сводится к выполнению системы неравенств, каждое из которых накладывается на только одну из координат. Поэтому любым таким пересечением будет $\frac{1}{2^n}$-ая часть от от полного кубика, для которой какие-то из координат принадлежат левой половине едничного отрезка, а все остальные -- правой.

Нечаянно эти события окажутся независимыми и в нормальном, человеческом, теоретико-вероятностном смысле, и это тоже тривиально (естественно, в предположении равнномерности распределения).