Связь НОК и НОД

[Housdorfius]

Как доказать,что НОК(a,b)*НОД(a,b)=|a,b|

[AlexValk]

Разложите каждое из чисел $a$ и $b$ на простые сомножители и посчитайте НОК$(a,b)$, НОД$(a,b)$ и $\left|a b\right|$ в терминах этих разложений.
Ну, а если будут какие-то трудности, то посмотрите, например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B5_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5

[nnosipov]

Связь между НОД и НОК можно установить, не обращаясь к разложению на простые сомножители. Пусть $m=\mathrm{lcm}{(a,b)}$ и $M$ --- произвольное общее кратное $a$ и $b$. Тогда $M$ делится на $m$. (Действительно, если $M=mq+r$, где $0 \leqslant r<m$, то $r$ --- общее кратное $a$ и $b$. Неравенства $0<r<m$ противоречили бы определению $m$, поэтому $r=0$.) В частности, $M=ab$ делится на $m$. Рассмотрим целое число $d=ab/m$. Нетрудно видеть, что $d$ --- общий делитель $a$ и $b$, причём делящийся на произвольный общий делитель этих чисел (убедитесь!). Но тогда $d=\mathrm{gcd}(a,b)$.

[Housdorfius]

Спасибо,изначально делал 1м способом получилось как-то коряво.Теперь всё отлично)

[Sefko]

Housdorfius в сообщении #477176 писал(а):

Спасибо,изначально делал 1м способом получилось как-то коряво.Теперь всё отлично)

1-м способом (смотреть, куда какие делители входят) тоже может получиться.
Введем вспомогательное число c = |b|/НОД(a,b).
Тогда |b|= c*НОД(a,b).
Должно быть достаточно очевидно, что НОК(a,b) = |a|*c.
Cледовательно,
|a*b| = |a|*c*НОД(a,b) =НОК(a,b)*НОД(a,b).