Из леммы о предельной точке лемма о вложенных отрезках

[ean]

Проверьте, пожалуйста, ход рассуждений. Без использования аксиомы полноты.
Лемма о предельной точке: всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Лемма о вложенных отрезках: для любой последовательности вложенных отрезков найдется точка $c \in \mathbb{R}$, принадлежащая всем эти отрезкам. Если, кроме того, для любого $\varepsilon > 0$ найдется отрезок, чья длина меньше $\varepsilon$, то $c$ - единственная общая точка все отрезков.
Ход мысли такой:
$I_i = \left[a_i,b_i \right]$.
Если множество точек $\{a_i \}$ и $\{b_i \}$ конечно, то выбираем максимум/минимум в одном из этих множеств - это и будет точка $c$. В данном случае вторая часть леммы не выполняется.
Если одно множество конечное, а другое бесконечное, то (пусть $\{a_i \}$ конечное), то выбираем максимум в этом множестве - это и будет точка $c$. Любая другая будет больше некоторого $b_i$.
Случай, если множества бесконечные, тогда множество составленное из этих множеств тоже бесконечное и ограниченное. В любом отрезке будет бесконечное подмножество этого множества, следовательно в любом отрезке найдется предельная точка, принадлежащая всем "внешним" отрезкам.
Могу ли я из этого заключить, что точка из условия найдена?
Единственность показывается доказательством от обратного, предполагаю, что таких точек 2, получаю некоторый отрезок, меньше которого не могут быть вложенные отрезки - противоречие.

[ewert]

ean в сообщении #475802 писал(а):

В любом отрезке будет бесконечное подмножество этого множества, следовательно в любом отрезке найдется предельная точка, принадлежащая всем "внешним" отрезкам.

Как-то неаккуратно. Ваша формулировка допускает, что эти предельные точки могут плавать, и тогда всё рассыпается. Надо слова по-другому расставить, скажем, так:

"... Тогда согласно первой лемме множество границ имеет хоть одну предельную точку $c$. Эта же точка будет предельной и для подмножества границ, попадающих в любой фиксированный отрезок (поскольку это подмножество отличается от всего множества границ не более чем на конечное количество элементов). Следовательно, $c$ является предельной точкой для каждого из отрезков и тем самым принадлежит каждому отрезку."

Кроме того, второй случай лишний -- достаточно двух: когда множество границ конечно о когда оно бесконечно.

В остальном вроде всё верно.

[ean]

ewert в сообщении #475846 писал(а):

Ваша формулировка допускает, что эти предельные точки могут плавать, и тогда всё рассыпается.

спасибо большое, это меня как раз и смущало