Проверьте, пожалуйста, ход рассуждений. Без использования аксиомы полноты.
Лемма о предельной точке: всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Лемма о вложенных отрезках: для любой последовательности вложенных отрезков найдется точка

, принадлежащая всем эти отрезкам. Если, кроме того, для любого

найдется отрезок, чья длина меньше

, то

- единственная общая точка все отрезков.
Ход мысли такой:
![$I_i = \left[a_i,b_i \right]$ $I_i = \left[a_i,b_i \right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/d/ded0b7d7a6ed5be17240d79bd4f6828282.png)
.
Если множество точек

и

конечно, то выбираем максимум/минимум в одном из этих множеств - это и будет точка

. В данном случае вторая часть леммы не выполняется.
Если одно множество конечное, а другое бесконечное, то (пусть

конечное), то выбираем максимум в этом множестве - это и будет точка

. Любая другая будет больше некоторого

.
Случай, если множества бесконечные, тогда множество составленное из этих множеств тоже бесконечное и ограниченное. В любом отрезке будет бесконечное подмножество этого множества, следовательно в любом отрезке найдется предельная точка, принадлежащая всем "внешним" отрезкам.
Могу ли я из этого заключить, что точка из условия найдена?
Единственность показывается доказательством от обратного, предполагаю, что таких точек 2, получаю некоторый отрезок, меньше которого не могут быть вложенные отрезки - противоречие.