Арифметические прогрессии из египетских дробей

[nnosipov]

Рассматриваются конечные возрастающие арифметические прогрессии, состоящие из египетских дробей --- чисел вида $1/k$ ($k$ --- натуральное число).
1. Найдите все такие прогрессии с суммой $1/3$.
2. Существует ли хотя бы одна такая прогрессия с суммой $4/5$?

[arseniiv]

Вы не имели в виду аликвотные? Егепетские дроби — это же суммы таких дробей.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #476858 писал(а):

Егепетские дроби — это же суммы таких дробей.

Всегда верил, что египетские и аликвотные --- это синонимы.

[Sonic86]

Правилен ли ответ?

(ответ)

1. Одна такая прогрессия из 3-х членов точно есть (точнее не перебирал).
2. Есть лишь вырожденная прогрессия (с шагом 0 )

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #476863 писал(а):

Правилен ли ответ?

(ответ)

1. Одна такая прогрессия из 3-х членов точно есть (точнее не перебирал).
2. Есть лишь вырожденная прогрессия (с шагом 0 )

(Оффтоп)

1. Их несколько (более одной). 2. Верно.

[arseniiv]

(Мини-ответ на 1.)

Как очевидная найденная Sonicом86 имелась в виду $\left( \frac1{18}, \frac19, \frac16 \right)$?

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #476875 писал(а):

(Мини-ответ на 1.)

Как очевидная найденная Sonicом86 имелась в виду $\left( \frac1{18}, \frac19, \frac16 \right)$?

(Оффтоп)

Не знаю, насколько она очевидна. Хотя да, очевидна: надо хорошо известную поделить на $3$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #476875 писал(а):

Как очевидная найденная Sonicом86 имелась в виду $\left( \frac1{18}, \frac19, \frac16 \right)$?

Да, это она Так можно не только представление $1/3$ найти, но и любой $1/k$.

[Psw]

Sonic86 в сообщении #476911 писал(а):

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #476875 писал(а):

Как очевидная найденная Sonicом86 имелась в виду $\left( \frac1{18}, \frac19, \frac16 \right)$?

Да, это она Так можно не только представление $1/3$ найти, но и любой $1/k$.

Для $1/3$ есть еще одно представление $\left( \frac1{45}, \frac19, \frac15 \right)$. Его можно обощить для любых $ \frac 1{3k}$
А для $1/5$ есть представление $\left( \frac1{45}, \frac1{15}, \frac19 \right)$, также обобщаемое для $ \frac 1{5k}$.
Для $1/7$ имеем представление $\left( \frac1{84}, \frac1{21}, \frac1{12} \right)$, обобщаемое для $ \frac 1{7k}$.
По такому же принципу можно построить для $1/11$,$1/13$ и т.д.

[nnosipov]

Что же, господа, неужели сложной оказалось задача? Некоторый перебор здесь потребуется, ну так можно его и не вручную делать. А может, и вообще без перебора обойтись удастся, кто знает. Как всегда, простые решения приветствуются.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #479481 писал(а):

Что же, господа, неужели сложной оказалось задача? Некоторый перебор здесь потребуется, ну так можно его и не вручную делать. А может, и вообще без перебора обойтись удастся, кто знает. Как всегда, простые решения приветствуются.

У меня вроде получилось, что прогрессия из дробей, обратных натуральным числам, содержит не более 3-х элементов. Отсюда я все и вывел.
Я просто ради интереса других оставил. Могу решение написать. Вдруг там ошибка...

[nnosipov]

Sonic86, напишите как-нибудь, это не к спеху, конечно, но полюбопытствовать хотелось бы.

[Sonic86]

Похоже, что я наврал: доказательства у меня нет только для частного случая.

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #479507 писал(а):

прогрессия из дробей, обратных натуральным числам, содержит не более 3-х элементов

А как же ${1\over60},{1\over30},{1\over20},{1\over15}$ и так далее - ведь 60 делится на все числа!?

[Sonic86]

ИСН в сообщении #479806 писал(а):

А как же ${1\over60},{1\over30},{1\over20},{1\over15}$ и так далее - ведь 60 делится на все числа!?

Да, в том-то и дело, и такие прогрессии могут быть сколь угодно длинные (3 - это для попарно взаимно простых знаменателей (если тоже не наврал)). И строить их просто по индукции: строим цепочку из $n$ египетских дробей, считаем $n+1$-ю дробь и всю цепочку нормируем на числитель последней дроби - получаем цепочку из $n+1$ египетских дробей. Так что

Sonic86 в сообщении #479507 писал(а):

У меня вроде получилось, что прогрессия из дробей, обратных натуральным числам, содержит не более 3-х элементов.

вранье