Нужна независимая экспертиза в правильности решения задачи

[EvilPhysicist]

Вы всё ещё не ответили почему уравнения Ньютона более общие, хотя выводятся из ПНД. Да и почему

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

Ваше действие не минимально

[Joker_vD]

VladimirKalitvianski в сообщении #476845 писал(а):

Если координаты в начальный и конечный момент времени не фиксируются, то, дорогие мои, вариации координат тогда не зануляются

Не понял. Давайте-ка по шагам. Вот есть действие $S = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot q(t), t)\,dt$. Вводим деформацию для $q(t)$ как $\widetilde q(t,\varepsilon)$, которая $\widetilde q(t,0) = q(t)$. Вводим вариацию $q(t)$ при заданной деформации $\widetilde q(t,\varepsilon)$ как $\delta q(t) = \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} \widetilde q(t, \varepsilon)$. Вводим вариацию функционала $S$ при заданной деформации $\delta S = \left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} \int_{t_1}^{t_2} L(\widetilde q(t,\varepsilon), \dot{\tilde q}(t,\varepsilon), t)\,dt$. Раз лагранжиан зависит от $q$ и $\dot q$ гладко, вносим дифференцирование под интеграл и получаем $\delta S = \int_{t_1}^{t_2} (L_q\delta q + L_{\dot q}\delta \dot q)\,dt$, с понятными (надеюсь) обозначениями для скалярных произведений и где $\delta \dot q = \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\frac{\partial}{\partial t} \widetilde q(t,\varepsilon) = \frac{\partial}{\partial t} \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\widetilde q(t,\varepsilon)= \frac{d}{dt}\delta q(t)$.

Расписывая $\delta\dot q$ и интегрируя по частям, имеем

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(L_q - \frac{d}{dt}L_{\dot q}\right)\delta q\, dt + L_{\dot q}\delta q\Bigr|_{t_1}^{t_2}.$$

Далее, в принципе Гамильтона рассматриваются только деформации с закрепленными концами, т.е. $\widetilde q(t,\varepsilon)$, удовлетворяющие $\widetilde q(t_1,\varepsilon) = q(t_1)$, $\widetilde q(t_2,\varepsilon) = q(t_2)$. Однако опять же, сами $q(t_1)$, $q(t_2)$ не фиксируются. Ладно, идем дальше. При таких деформациях верно, что $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$, что дает упрощенное выражения для вариации действия:

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(L_q - \frac{d}{dt}L_{\dot q}\right)\delta q\, dt.$$

Ну и все, дальше выводят уравнения Лагранжа, аккуратно обходя тот факт, что есть краевые уловия на $\delta q$.

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #476853 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476845 писал(а):

Если координаты в начальный и конечный момент времени не фиксируются, то, дорогие мои, вариации координат тогда не зануляются

Не понял. Давайте-ка по шагам. Вот есть действие $S = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot q(t), t)\,dt$. Вводим деформацию для $q(t)$ как $\widetilde q(t,\varepsilon)$, которая $\widetilde q(t,0) = q(t)$. Вводим вариацию $q(t)$ при заданной деформации $\widetilde q(t,\varepsilon)$ как $\delta q(t) = \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} \widetilde q(t, \varepsilon)$. Вводим вариацию функционала $S$ при заданной деформации $\delta S = \left.\frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} \int_{t_1}^{t_2} L(\widetilde q(t,\varepsilon), \dot{\tilde q}(t,\varepsilon), t)\,dt$. Раз лагранжиан зависит от $q$ и $\dot q$ гладко, вносим дифференцирование под интеграл и получаем $\delta S = \int_{t_1}^{t_2} (L_q\delta q + L_{\dot q}\delta \dot q)\,dt$, с понятными (надеюсь) обозначениями для скалярных произведений и где $\delta \dot q = \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\frac{\partial}{\partial t} \widetilde q(t,\varepsilon) = \frac{\partial}{\partial t} \left.\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\widetilde q(t,\varepsilon)= \frac{d}{dt}\delta q(t)$.

Расписывая $\delta\dot q$ и интегрируя по частям, имеем

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(L_q - \frac{d}{dt}L_{\dot q}\right)\delta q\, dt + L_{\dot q}\delta q\Bigr|_{t_1}^{t_2}.$$

Далее, в принципе Гамильтона рассматриваются только деформации с закрепленными концами, т.е. $\widetilde q(t,\varepsilon)$, удовлетворяющие $\widetilde q(t_1,\varepsilon) = q(t_1)$, $\widetilde q(t_2,\varepsilon) = q(t_2)$. Однако опять же, сами $q(t_1)$, $q(t_2)$ не фиксируются. Ладно, идем дальше. При таких деформациях верно, что $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$, что дает упрощенное выражения для вариации действия:

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(L_q - \frac{d}{dt}L_{\dot q}\right)\delta q\, dt.$$

Ну и все, дальше выводят уравнения Лагранжа, аккуратно обходя тот факт, что есть краевые уловия на $\delta q$.

Отсутствие вариаций на концах есть фиксация координат в те самые моменты времени. Не важно, чему равны их фактические значения, важно, что они определены, известны, заданы, и поэтому не могут варьироваться при поиске. Их заданность и определяет ту единственную траекторию, которую мы ищем. Еще раз, без заданности концов нет искомой траектории. ПНД не только о "получении" уравнений, т.е., семейства решений, но об определении единственной траектории. Математически это эквивалентно уравнениям Ньютона с некими начальными данными, а в физической постановке - нет.

$\delta q = 0 $ используется и нужен только в первом (у Вас во втором) члене.

-- 21.08.2011, 20:35 --

EvilPhysicist в сообщении #476850 писал(а):

Вы всё ещё не ответили почему уравнения Ньютона более общие, хотя выводятся из ПНД. Да и почему

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

Ваше действие не минимально

Я написал о "Ньютоне" в предыдущем посте.

Если вариация Вашего действия пропорциональна вариации координаты (которая произвольна, хоть и мала), то где же у Вас минимум? Где же глухой ноль вариации действия?

[EvilPhysicist]

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Отсутствие вариаций на концах есть фиксация координат в те самые моменты времени

Это установление того факта, что как бы мы моменты времент не выбирали, координаты всегда будут фиксированны. Потому как ни значения времени, ни тем более значения координат в эти значения времени мы никак не задаём.

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Их заданность и определяет ту единственную траекторию, которую мы ищем.

Нет. Траектория может быть не одна.

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Еще раз, без заданности концов нет искомой траектории

И что? В классической механике траектория есть всегда, значит на ней можно выбрать две точки, которые считать концами.

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Математически это эквивалентно уравнениям Ньютона с некими начальными данными, а в физической постановке - нет.

Да ничего подобного.

Ну и вы снова проигнорировали то, что до сих пор не доказали, что уравнения Ньютона более общии.

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

Ну и вы снова проигнорировали то, что до сих пор не доказали, что уравнения Ньютона более общии.

Дифференциальные уравнения одинаковые, а физическая постановка, включающая определение констант интегрирования, разная.

[ИгорЪ]

VladimirKalitvianski в сообщении #476821 писал(а):

Так что уравнения Ньютона с начальными данными не эквивалентны уравнениям с "граничными" данными ПНД.

Да, не эквивалентны , но что в этом плохого? Если у вас нет начальных данных, а есть только уравнения, вы просто не можете вычислить траекторию конкретной частицы со скоростью и начальной координатой, но написать решение с двумя константами можете, а это всё равно физическая информация о системе. Если вы знаете, что частица летит по прямой, но не знаете из какой точки и с какой скоростью, вас это сильно растроит? Меня нет. Это сильно растроит военных. Им очень нужны начальные данные, чтобы вычислить конечные. Несколько месяцев я жил в доме над которым летали ракетные залпы системы град. Позже выяснилось, что стрелки были неграмотные.

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

Нет. Траектория может быть не одна.

Вы это скажите Гамильтону с его принципом.

[Joker_vD]

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Отсутствие вариаций на концах есть фиксация координат в те самые моменты времени.

Да с какого перепугу? Вы забыли формулировку принципа Гамильтона?

Принцип Гамильтона: Для истинного движения $q(t)$ механической системы между любыми двумя моментами времени $t_1$ и $t_2$, $t_1 < t_2$, действие имеет экстремальное значение по сравнению со всевозможными деформациями $\widetilde q(t,\varepsilon)$ с закрепленными концами.

Фиксация координат — это постановка краевых условий

$$\left\{\begin{array}{c}q(t_1) = q_1,\\q(t_2) = q_2.\end{array}\right.$$

Такие условия при решении уравнений Лагранжа 2-го рода не ставятся.

[VladimirKalitvianski]

ИгорЪ в сообщении #476869 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476821 писал(а):

Так что уравнения Ньютона с начальными данными не эквивалентны уравнениям с "граничными" данными ПНД.

Да, не эквивалентны , но что в этом плохого? Если у вас нет начальных данных, а есть только уравнения, вы просто не можете вычислить траекторию конкретной частицы со скоростью и начальной координатой, но написать решение с двумя константами можете, а это всё равно физическая информация о системе.

Да нет ничего плохого, я ведь не о плохости, а о разнице. Реально у частицы в каждый момент времени есть и координата, и скорость, и сила, так что все определяется мгновенными данными, такова реальная физика движения.

-- 21.08.2011, 21:02 --

Joker_vD в сообщении #476872 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476862 писал(а):

Отсутствие вариаций на концах есть фиксация координат в те самые моменты времени.

Да с какого перепугу? Вы забыли формулировку принципа Гамильтона?

Принцип Гамильтона: Для истинного движения $q(t)$ механической системы между любыми двумя моментами времени $t_1$ и $t_2$, $t_1 < t_2$, действие имеет экстремальное значение по сравнению со всевозможными деформациями $\widetilde q(t,\varepsilon)$ с закрепленными концами.

Фиксация координат — это постановка краевых условий

$$\left\{\begin{array}{c}q(t_1) = q_1,\\q(t_2) = q_2.\end{array}\right.$$

Такие условия при решении уравнений Лагранжа 2-го рода не ставятся.

Хорошо, а что тогда ставится и имеется ввиду под "закрепленными" концами?

[Joker_vD]

VladimirKalitvianski в сообщении #476873 писал(а):

Хорошо, а что тогда ставится и имеется ввиду под "закрепленными" концами?

Рассмотрение деформаций с $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$. Физический смысл хотите? Пожалуйста: если мы возьмем истинное движение и чуть его подправим, оставляя концы на месте, то действие непременно увеличится. Поэтому ищут какое-нибудь движение с таким свойством, потому что только оно и может оказаться истинным.

Но главное другое. Принцип наименьшего действия используется для вывода дифф. уравнений движения. Там это требование на деформации аккуратно снимается, и оказывается, что если мы у движения сдвинем концы, действие все равно увеличится.

P.S. Пожалуйста, не путайте движение и траекторию. Это я всех участников разговора прошу.

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #476878 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476873 писал(а):

Хорошо, а что тогда ставится и имеется ввиду под "закрепленными" концами?

Рассмотрение деформаций с $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$. Физический смысл хотите? Пожалуйста: если мы возьмем истинное движение и чуть его подправим, оставляя концы на месте, то действие непременно увеличится. Поэтому ищут какое-нибудь движение с таким свойством, потому что только оно и может оказаться истинным.

Но главное другое. Принцип наименьшего действия используется для вывода дифф. уравнений движения. Там это требование на деформации аккуратно снимается, и оказывается, что если мы у движения сдвинем концы, действие все равно увеличится.

P.S. Пожалуйста, не путайте движение и траекторию. Это я всех участников разговора прошу.

Ну вот, когда Вы упоминаете истинное движение (пардон за "траекторию", расслабился), Вы имеете ввиду конкретное, заданное движение. В противном случае Вы имеете "двухпараметрическое" семейство движений, что не есть истинное движение ввиду его неуникальности.

Предлагаю закончить на этом - все высказались и остались при своих пониманиях.

[Joker_vD]

VladimirKalitvianski в сообщении #476882 писал(а):

Ну вот, когда Вы упоминаете истинное движение (пардон за "траекторию", расслабился), Вы имеете ввиду конкретное, заданное движение

Кем (чем) заданное? Разве что начальными условиями, так извините — истинное движение любой динамической системы однозначно определяется ее начальным состоянием. Или вы имеет в виду, что я знаю, какое движение мне нужно, и подгоняю ответ под него?

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #476884 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476882 писал(а):

Ну вот, когда Вы упоминаете истинное движение (пардон за "траекторию", расслабился), Вы имеете ввиду конкретное, заданное движение

Кем (чем) заданное? Разве что начальными условиями, так извините — истинное движение любой динамической системы однозначно определяется ее начальным состоянием. Или вы имеет в виду, что я знаю, какое движение мне нужно, и подгоняю ответ под него?

я просто хотел сказать, что "истинность" некоего движения подразумевает существование конкретного решения и совместна с

$$\left\{\begin{array}{c}q(t_1) = q_1,\\q(t_2) = q_2.\end{array}\right.$$

[Joker_vD]

VladimirKalitvianski в сообщении #476886 писал(а):

я просто хотел сказать, что "истинность" некоего движения подразумевает существование конкретного решения и совместна с

$$\left\{\begin{array}{c}q(t_1) = q_1,\\q(t_2) = q_2.\end{array}\right.$$

И что? $q_2$ нам ведь неизвестно, его тоже отыскивать надо!

[VladimirKalitvianski]

Joker_vD в сообщении #476887 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476886 писал(а):

я просто хотел сказать, что "истинность" некоего движения подразумевает существование конкретного решения и совместна с

$$\left\{\begin{array}{c}q(t_1) = q_1,\\q(t_2) = q_2.\end{array}\right.$$

И что? $q_2$ нам ведь неизвестно, его тоже отыскивать надо!

Ну и я про тоже - постановка а ля Ньютон более физична (реалистична), хотя математически вполне возможна и постановка задачи а ля Гамильтон, с заданием концевых координат.