Сумма двух логистистических распеределений

[alxkolm]

понял почему делить, но не понял почему

Цитата:

При этом, очевидно, сумму n слагаемых надо приводить к равным матожиданиям и дисперсии. Матожидание, не теряя общности, положим нулём, а для нормирования дисперсии надо делить на $ \sqrt {n}$

предположим что дисперсия у всех одинаковая

[Vince Diesel]

Что мешает просто сослаться на центральную предельную теорему?

[Евгений Машеров]

Дисперсия слагаемых тут действительно принимается одинаковой, но дисперсия суммы ведь с ростом числа слагаемых растёт. А сравнивать распределения надо в сравнимых условиях, а то будем считать разными законами распределения нормальный с дисперсией 1 и нормальный с дисперсией 2. Так что мы все суммы приводим к распределению с нулевым матожиданием (вычитанием $\mu$ и постоянной дисперсией s, делением на $\sqrt {n}$ (можно и к единичной привести, деля на $s \sqrt {n}$, это не столь принципиально). Таким же приёмом пользуются, доказывая, что в пределе биномиальное распределение переходит в нормальное.
С другой стороны, можно пойти по пути нахождения мер отличия от нормального, например, вычисления асимметрии и эксцесса. Для нормального они оба равны нулю, для данной суммы логистических асимметрия, очевидно, ноль, а эксцесс, напомню, равен четвёртому семиинварианту, делённому на квадрат второго, можете найти самостоятельно. Но так как можно построить пример ненормального распределения с нулевыми асимметрией и эксцессом, то такой расчёт надо проводить для всех нормированных семиинвариантов, хотя на практике ограничиваются названными двумя "показателями ненормальности".

-- Ср авг 17, 2011 09:33:29 --

Vince Diesel

На ЦПТ? Решительно ничего не мешает.
Просто проверка условий применимости ЦПТ ненамного проще прямого доказательства того, что сумма логистических распределений в пределе нормальна, а в качестве (возможно, полезного) побочного результата получаем оценки полученного распределения при конечном числе слагаемых.
Польза может быть как для статистической проверки согласия наблюдаемого распределения с теоретическим, так и для приближения плотности функции распределения рядами Грама-Шарлье (Кендалл и Стьюарт, "Теория распределений", 6.13-6.26)

[alxkolm]

Евгений Машеров
Понял. Спасибо. Вы мне прямо level up сделали.
На неделе еще с аппроксимацией рядами Эджворта помучаюсь.

[Евгений Машеров]

А попробуйте прогнать

Integrate[PDF[LogisticDistribution[0, 1], t]*PDF[LogisticDistribution[0, s], x - t], {t, -Infinity, Infinity}

Возьмёт?
У меня такое ощущение, что, для общего случая s, а не особо подобранного, интеграл неберущийся. Но, может, у Вольфрама твёрже? ;)

[alxkolm]

Integrate[PDF[LogisticDistribution[0, 1], t]*PDF[LogisticDistribution[0, s], x - t], {t, -Infinity, Infinity}]

$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{-t-\frac{-t+x}{s}}}{\left(1+e^{-t}\right)^2 \left(1+e^{-\frac{-t+x}{s}}\right)^2 s} \, dt$
Не берет.

[alxkolm]

Вот что получилось с аппроксимацией рядом Эджворта 4-го порядка.

Синим цветом - нормальное распределение (то куда сумма стремится).
Красным цветом - аппроксимация рядом Эджворта суммы логистических распределений $Logistic(0,1)$.

Сумма 2-х логистических распределений.


Сумма 3-х логистических распределений.


Сумма 5-и логистических распределений.


Сумма 10-и логистических распределений.


Сумма 20-и логистических распределений.


Сумма 50-и логистических распределений.


Сумма 100-а логистических распределений.


Как определить, с каких пор можно пользоваться просто нормальным распределением?

[worm2]

alxkolm писал(а):

Как определить, с каких пор можно пользоваться просто нормальным распределением?

Зависит от того, как оно в дальнейшем будет применяться. Если оно Вам надо для решения задач статистики — то в первую очередь от величины выборки.
К примеру, даже в случае одного слагаемого (т.е. нормальное vs просто логистическое) чтобы уверенно отличить эти 2 типа распределения по выборке, её объём должен составлять порядка сотни-другой (подробнее — см., например, статью "Сравнительный анализ мощности критериев согласия"). В случае выборки объёмом нескольких десятков нормальное вполне себе может прокатить за логистическое.
Если же Вам надо чисто вычислить функцию плотности (а не решить практическую задачу статистики) — задайте точность, да и посчитайте, когда она будет удовлетворяться.

[scwec]

На самом деле самым интересным в обсуждении является следующее: откуда взялось слово "логистическое". Вопрос не так тривиален.

[Vince Diesel]

Не помню кто назвал его так еще в 19м веке. А почему, вроде как неизвестно.

[alxkolm]

scwec в сообщении #476296 писал(а):

На самом деле самым интересным в обсуждении является следующее: откуда взялось слово "логистическое". Вопрос не так тривиален.

Vince Diesel в сообщении #476303 писал(а):

Не помню кто назвал его так еще в 19м веке. А почему, вроде как неизвестно.

Все известно и вот тут все написано.

[scwec]

Фейерхюльст - а вот почему?

[scwec]

(Оффтоп)

Фамилию писал по памяти и ошибся. Правильно Ферхюльст. Забавность ситуации состоит в том, что представители огромной армии снабженцев называют себя логистиками, ничего не зная о логистическом уравнении. И термин этот на слуху у публики. Может быть Ферхюльст тут ни причем и название снабженцев имеет другую природу? Извиняюсь за отклонение от темы.

[Vince Diesel]

alxkolm в сообщении #476304 писал(а):

Все известно и вот тут все написано.

Кроме формул, ничего нет.

На английском нашел такое объяснение:

logistic писал(а):

logistic 1
n
(Mathematics) an uninterpreted calculus or system of symbolic logic Compare formal language
adj
1. (Mathematics) Maths (of a curve) having an equation of the form $y = k/(1 + e^a+bx)$, where b is less than zero
2. (Mathematics) Rare of, relating to, or skilled in arithmetical calculations
via French, from Late Latin logisticus of calculation, from Greek logistikos rational, from logos word, reason

Кривая была названа логистической, а не распределение. Получается что-то вроде "кривая для расчета" (населения).

[Евгений Машеров]

Хотя точных сведений о том, почему он назвал функцию "логистической", Ферхюльст не оставил, но можно попытаться реконструировать его логику.
Сам термин "логистика" был введён византийским императором Львом VI Мудрым в его трактатах по военному делу, где он разделил военное искусство на три части - тактика, описывающая действия войска в бою, стратегия, рассматривающая ведение войны на более высоком уровне, и логистика, наука о снабжении войск (видимо, от "логос". то есть слово).
(Не скрываю предыдущий абзац, как оффтопик, поскольку на то время, 866-912 гг. н.э., это было едва ли не самое сложное и массовое приложение математики)
Отсюда современная "логистика", как наука о снабжении, не только и не столько войск.
Логистическое уравнение $y'=ay(1-\frac y K)$ было Ферхюльстом предложено для описания развития различного рода объектов в условиях ограниченных ресурсов (он рассматривал население, но потом этот подход приложили и к развитию других объектов). По-видимому, поскольку логистика (в названном выше смысле науки о снабжении) занимается распределением ограниченных ресурсов, он перенёс это название на описанную задачу.
Логистическое распределение получило такое название оттого, что его функция распределения является решением логистического дифуравнения (при К=1)

-- Пн авг 22, 2011 11:44:50 --

Vince Diesel

В цитате явная опечатка. $+bx$ должно стоять в показателе экспоненты:
$y(t)= \frac k {1+e^{a+bx}}}$

И касательно термина "логистика" в первом в приведенной словарной статье значении, а именно матлогика. В этом смысле термин был введён Пеано, вне всякой связи с логистической кривой, логистическим распределением или логистикой в экономическом смысле и, по всей видимости, получен из "логика"+"математика".