Полнота методов интегрирования.

[Sirion]

Возник у меня следующий вопрос: пусть есть некий неопределённый интеграл, который равняется некоторой элементарной функции (с точностью до константы, разумеется). Вопрос такой: всегда ли мы можем решить этот интеграл, используя лишь методы, дающиеся в стандартном курсе математического анализа (использование линейности интеграла, замена переменной, интегрирование по частям), и таблицу элементарных интегралов оттуда же? Предполагается, что мы умеем преобразовывать подынтегральное выражение любым равносильным образом.

Извиняюсь, если вопрос, как говорится, "баян". В этом случае буду признателен, если кто-нибудь поделится ссылкой на уже проведённое исследование.

[alcoholist]

Sirion в сообщении #476342 писал(а):

решить этот интеграл

к ewert'у

Sirion в сообщении #476342 писал(а):

дающиеся в стандартном курсе

Оксиморно скажу, но: "стандарт" -- понятие неоднозначное

Sirion в сообщении #476342 писал(а):

всегда ли мы можем

всегда... случайностей в природе нет

[Sirion]

alcoholist, что касается методов интегрирования и таблиц элементарных интегралов - не думаю, что мы найдём большие расхождения в различных курсах. Для определённости примем, скажем, Демидовича за сумму наших знаний.

"Случайностей в природе нет" - боюсь, это не является корректным обоснованием.

[alcoholist]

Вопрос даже не философский... но вольфрам знает все:) Я имею очень веские основания предполагать (доказать не могу), что любой интеграл, выражающийся через элементарные функции, вольфрам (или математика) щелкнет без проблем -- а значит, есть алгоритмы

[gris]

Не такой простой вопрос, как кажется.
Обычно на него отвечают так: каждое правило интегрирования следует из соответствующего правила дифференцирования. Продифференцировав первообразную и двигаясь задом наперёд, мы получим процесс интегрирования.
Но предположим, что мы интегрируем функцию, тождественно равную нулю, но такую, что это равенство нельзя установить элементарными методами. Тогда дифференцирование константы не даст нам никаких подсказок.
Всегда ли возможно предположение ТС о возможности равносильных преобразований?

[Sirion]

Кстати, да... Об этом нюансе я не задумывался. Что касается "дифференцирования наоборот" - я так и думал, но было чудовищно лень оформлять свою мысль строго. Я надеялся, что кто-нибудь даст ссылку на строгое доказательство обратимости дифференцирования и того, что оно приводит в итоге к элементарным интегралам.

[gris]

Главное — при дифференцировании не приводить подобные, ничего не сокращать. Тогда мы получим производную первообразной в сыром виде. Она тождественно равна подынтегральному выражению, записанному, возможно, в другой символьной форме. По Вашему предположению существует равносильное преобразование одного в другое.
То есть по существу надо доказать, что любое корректное символьное выражение можно продифференцировать за конечное число шагов и что каждый шаг обратим.
Но даже это нужно лишь для практического, учебного решения интезадачи интегрирования. Теоретически, если нам дано выражение интеграла в элементарных функциях, то нужно лишь одно правило интегрирования: замена переменной.

[sergei1961]

Насколько я знаю, подобные задачи чётко формализуются в дифференциальной алгебре, и там они называются теоремами Ритта (когда можно по данному набору элементарных функций проинтегрировать, когда нельзя). Там нужно смотреть. Вопрос этот далеко не праздный, это самый практический вопрос при разработке пакетов символьного интегрирования.