Непрерывность интегралов по большому множеству

[Gortaur]

Пусть $(X,\rho)$ - метрическое пространство, $\xi(x,y)\geq 0$ глобально Липшицева на $X\times X$. Пусть $\mu$ - Борелевская мера, конечная на компактах. Зададим функцию $K(x,C) = \int\limits_C\xi(x,y)\mu(dy)$ и потребуем, чтобы $K(x,X)=1$ для всех $x$.

Теперь, пусть $A$ -компакт, а $B$ - некоторое Борелевское множество. Верно ли, что $K(x,B)$ непрерывна на $A$?

Опять я в догадках, как тут подобраться или опровергнуть. Была идея рассмотреть функцию $\eta(x) = \max\limits_{x\in A}\xi(x,y)$, чтобы применить теорему о мажорируемой сходимости. Однако, для $\xi$ Липшицевой не глобально, а локально есть пример, когда $\eta$ не интегрируема. Может, такой же пример есть и для глобальной Липшицевости. С другой стороны, это ничего не доказывает, т.к. теорема о мажорируемой сходимости - достаточный признак.

[sup]

Фиксируем $x_0$. Пусть $\varepsilon >0$ и $S$ - компакт, такой, что
$\int \limits_{S} \xi(x_0,y)\mu(dy) >1-\varepsilon$
Тогда для $x$ близких к $x_0$
$\int \limits_{S} \xi(x,y)\mu(dy) >1-2\varepsilon$
А значит
$|K(x,B)-K(x_0,B)| <\int \limits_{S \bigcap B} |\xi(x,y) - \xi(x_0,y)|\mu(dy) +3\varepsilon$

[Gortaur]

sup
Спасибо большое! А существование $S$ тривиально?

[Gortaur]

У меня такие сомнения - можно конечно, потребовать сигма-конечность меры - но там компакты не при чем.

[Gortaur]

Все, разобрался - нам компактность $S$ и не нужна. Так что сигма-конечность поможет.