Пусть

- метрическое пространство,

глобально Липшицева на

. Пусть

- Борелевская мера, конечная на компактах. Зададим функцию

и потребуем, чтобы

для всех

.
Теперь, пусть

-компакт, а

- некоторое Борелевское множество. Верно ли, что

непрерывна на

?
Опять я в догадках, как тут подобраться или опровергнуть. Была идея рассмотреть функцию

, чтобы применить теорему о мажорируемой сходимости. Однако, для

Липшицевой не глобально, а локально есть пример, когда

не интегрируема. Может, такой же пример есть и для глобальной Липшицевости. С другой стороны, это ничего не доказывает, т.к. теорема о мажорируемой сходимости - достаточный признак.