Показательное неравенство с параметром и модулем в степени

[Dosaev]

Для каких значений m неравенство
$(m+2)4^{|x-1|}-2m2^{|x-1|}+3m+1>0$ выполняется при всех действительных $x?$

Решение.
$2^{|x-1|}=t \ge 1.$
Новая формулировка задачи: для каких значений $m$ неравенство $(m+2)t^2-2mt+3m+1>0$ выполнимо при всех $t \ge 1.$
Очевидно $m \le 0 $ не подходит, т.к. неравенство не может выполнятся при всех $t.$
Тогда $m>-2.$ Ветви параболы вверх, НиД для выполнения требования задачи является: $D<0?$
Скажите, я правильно действую? Никак не могу связать c $t \ge 1.$

[ewert]

Dosaev в сообщении #476270 писал(а):

Очевидно $m \le 0 $ не подходит, т.к. неравенство не может выполнятся при всех $t.$

Ну не нуля, а минус двойки, конечно. Только вот случай $m=-2$ -- особый, и его надо рассматривать отдельно.

Dosaev в сообщении #476270 писал(а):

Никак не могу связать c $t \ge 1.$

Составьте систему неравенств:

$\left[\begin{array}{l}\text{дискриминант меньше нуля}\\ \left\{\begin{array}{l}\text{при }t=1\text{ получается плюс}\\ \text{вершина параболы левее единички}\end{array}\right.\end{array}\right.$

[Dosaev]

Да, случай m=0 я рассмотрел и сразу объединил. В общем Спасибо!