Среднее значение вектора при повороте

[morton]

Добрый вечер.

Есть задача:
Постоянный по модулю вектор a, равномерно поворачиваясь против часовой стрелки в плоскости x, y, переходит за время t из положения, при котором он совпадает по направлению с осью x, в положение, при котором он совпадает по направлению с осью y. Найти среднее за время t значение вектора a и модуль этого среднего.

По формуле для среднего можно получить что-то вроде:
$<\vec a> = \frac{2}{\pi} \int\limits^\frac{\pi}{2}_0 \vec a(\varphi)d\varphi$
Как из этого прийти к ответу
$<\vec a> = \frac{2}{\pi}a(\vec e_x + \vec e_y)$
Почему именно сумма в скобках? Или изначально не нужно было пользоваться формулой для среднего и считать как-то по-другому?

[Joker_vD]

Ух ты, говорящая рыба интеграл от вектор-функции! А где бы про это чудо почитать? Или это имеется ввиду вектор, составленный из интегралов компонент вектора? Т.е.

$$\int\limits_a^b (f_1(\varphi),\ldots,f_n(\varphi))\,d\varphi \stackrel{def}{=} \left(\int\limits_a^b f_1(\varphi)\,d\varphi,\ldots,\int\limits_a^b f_n(\varphi)\,d\varphi\right)?$$

[morton]

Joker_vD в сообщении #476157 писал(а):

А где бы про это чудо почитать?

В первом томе "Курса общей физики" Савельева...
Я не утверждаю, что там вообще нужен такой интеграл, возможно (и даже скорее всего), задача решается иначе.

[Joker_vD]

morton
Ну не знаю. Лично у меня с покомпонентным интегралом ответ вышел именно такой, если, конечно, $e_x = (1,0),\, e_y=(0,1)$.

Короче, $\vec a = \vec a(t) = a_x(t)\vec e_x + a_y(t)\vec e_y$. Подберите $a_x(t), a_y(t)$ так, чтобы они при $t=0$ и $t=T$ удовлетворяли вашим условиям (совпадает с осью $Ox$, $Oy$), потом рисуете

$$<\vec a> = \left(\frac1T\int\limits_0^T a_x(t)\,dt\right)\vec e_x + \left(\frac1T\int\limits_0^T a_y(t)\,dt\right)\vec e_y,$$

и считаете интегралы, сделаете там замену на угол поворота $\varphi$, и все.

[morton]

не.. я сглупил жутко.. Действительно с покомпонентным получается. Если считать, что
$\vec a (a\cdot\cos\varphi, a\cdot\sin\varphi)$
то получается правильный ответ.
Спасибо.

[Joker_vD]

Получаться-то получается, но вас не смущает, что вы нигде не использовали время t?

И в каком именно месте первого тома находится эта задача?

[morton]

Задача в задачнике (1.18, кажется), в первом томе формула среднего значения.
Не смущает.. в данном случае усреднение по времени эквивалентно усреднению по углу поворота.

[Joker_vD]

morton в сообщении #476168 писал(а):

Не смущает.. в данном случае усреднение по времени эквивалентно усреднению по углу поворота

В принципе да... ну не знаю, вам видней Главное, чтобы подобная интуиция не подводила. Но лично мне было приятно увидеть вживую, как $T$ сократилось.

[ewert]

Ну очевидно, что среднее значение вектора будет направлено по биссектрисе, т.е. параллельно единичному вектору $\frac{1}{\sqrt2}(\vec e_x+\vec e_y)$. И что среднее значение проекции на это направление есть $\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}|\vec a|\cos\varphi\,d\varphi=\dfrac{2\sqrt2}{\pi}|\vec a|$. А время тут действительно не при чём.

[diakin]

1. Допустим данный вектор является вектором силы, приложенной к массе M. Тогда за время поворота вектора тело приобретет ускорение A. Если заменить этот вектор на средний, действующий по биссектрисе, полученное ускорение A' будет равно ускорению от действия исходного вектора силы?

2. Пусть имеется два вектора равных по модулю. направленных под 90 град друг к другу. Чему равно среднее значение.. ээ..как сформулировать-то ? Сумма-то векторов понятно, а среднее значение? Чему равен модуль "среднего" этих двух векторов?

[arseniiv]

1. Ускорение полностью определяется в каждый момент суммой всех приложенных сил, так что разумеется не будет. В первом случае оно меняется в каждый момент времени, во второй нет. Кроме того, они и по модулю будут не равны, как видно из ответа в первом посте.

2. Ерунду пишете, потому и сформулировать не получается. Нету у пары векторов «среднего значения».

-- Вс апр 08, 2018 23:49:36 --

Бывает, конечно, среднее арифметическое, например, но это банальность получается, и никак не связано с тем, что семь лет назад спрашивал ТС.