Невозможное равенство

[nnosipov]

Докажите, что равенство вида $x^2-4y^2=y^2z^2 \pm 32$ невозможно в целых числах $x$, $y$, $z$, если $z$ нечётно.

P.S. Хотелось бы увидеть решение попроще.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #476125 писал(а):

Докажите, что равенство вида $x^2-4y^2=y^2z^2 \pm 32$ невозможно в целых числах $x$, $y$, $z$, если $z$ нечётно.

P.S. Хотелось бы увидеть решение попроще.

z - нечетно --> четность x и у одинакова. Смотрим оба случая, считаем кратность вхождения двойки, получаем отсутствие решений.

[nnosipov]

alex1910 в сообщении #476134 писал(а):

z - нечетно --> четность x и у одинакова. Смотрим оба случая, считаем кратность вхождения двойки, получаем отсутствие решений.

Неужели так просто? Не сочтите за труд, напишите подробно.

[Sonic86]

Как-то просто вышло, наверное наврал

(попытка)

$\Leftrightarrow x^2-y^2(4+z^2) = \pm 32$
$z \equiv 1 \pmod 2$, значит $x \equiv y \pmod 2$.
Предположим, что $x \equiv 1 \pmod 2$, тогда $x^2,y^2,z^2 \equiv 1 \pmod 8$, тогда левая часть $\equiv 1 - 1 \cdot 5 \not \equiv 0 \pmod 8$. Значит предположение неверно.
Значит $2|x$, делаем подстановку $x=2x_1, y=2y_1$, получаем уравнение
$\Leftrightarrow x_1^2-y_1^2(4+z^2) = \pm 8$
Поступаем аналогично, получаем для $x_1=2x_2, y_1=2y_2$ уравнение
$\Leftrightarrow x_2^2-y_2^2(4+z^2) = \pm 2$
Поступаем аналогично, получаем, что $4| \pm 2$ - значит решений нет

[nnosipov]

Sonic86, всё верно! Это я схалтурил и придумал простую задачу В любом случае всем спасибо.

Ну вот теперь халявы не будет. Итак, новая задача, уже про возможное равенство.

Дано равенство вида $x^2-4y^2=y^2z^2 \pm 3$ с целыми числами $x$, $y$, $z$, причём $z$ нечётно. Найдите это $z$.

[nnosipov]

А вот ещё одно невозможное равенство: $x^2+4y^2=y^2z^2-z$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа, при этом $z$ чётно и положительно.

Что забавно --- у этой задачи тоже есть "левое" решение, но не такое халявное, как в первой задаче. Пожалуйста, найдите его.

[Sirion]

nnosipov в сообщении #476144 писал(а):

Sonic86, всё верно! Это я схалтурил и придумал простую задачу В любом случае всем спасибо.

Ну вот теперь халявы не будет. Итак, новая задача, уже про возможное равенство.

Дано равенство вида $x^2-4y^2=y^2z^2 \pm 3$ с целыми числами $x$, $y$, $z$, причём $z$ нечётно. Найдите это $z$.

Например, z=3, x=4, y=1

-- 20.08.2011, 01:35 --

nnosipov в сообщении #476241 писал(а):

А вот ещё одно невозможное равенство: $x^2+4y^2=y^2z^2-z$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа, при этом $z$ чётно и положительно.

Что забавно --- у этой задачи тоже есть "левое" решение, но не такое халявное, как в первой задаче. Пожалуйста, найдите его.

Это должно быть очень большое число, я правильно понимаю?

[nnosipov]

Sirion в сообщении #476347 писал(а):

nnosipov в сообщении #476144 писал(а):

Дано равенство вида $x^2-4y^2=y^2z^2 \pm 3$ с целыми числами $x$, $y$, $z$, причём $z$ нечётно. Найдите это $z$.

Например, z=3, x=4, y=1

В этой задаче требуется найти все возможные значения $z$ (и, разумеется, доказать, что других нет).

Sirion в сообщении #476347 писал(а):

nnosipov в сообщении #476241 писал(а):

А вот ещё одно невозможное равенство: $x^2+4y^2=y^2z^2-z$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа, при этом $z$ чётно и положительно.

Что забавно --- у этой задачи тоже есть "левое" решение, но не такое халявное, как в первой задаче. Пожалуйста, найдите его.

Это должно быть очень большое число, я правильно понимаю?

Нет, ведь я написал, что равенство невозможно. Под "левым" решением я имел в виду то, что сама задача может быть решена способом, который учитывает специфику равенства и который существенно проще, чем некий общий стандартный подход. Ещё раз сформулирую задачу.

Докажите, что равенство $x^2+4y^2=y^2z^2-z$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа, при этом $z$ чётно и положительно, невозможно.

[Cash]

По-моему перемудрили. Все слишком просто.
Правая часть четна, значит $x$ тоже четно и $z$ делится на 4.
$x=2u; z=4t$
$u^2+y^2=t(4y^2t-1)$
У суммы квадратов делитель вида $4k-1$ что очевидно невозможно

[nnosipov]

Cash в сообщении #476550 писал(а):

Все слишком просто.

Ну не совсем просто, но, конечно, не сложно Спасибо, что заметили. Может, предыдущую задачу посмотрите?

[nnosipov]

Cash в сообщении #476550 писал(а):

У суммы квадратов делитель вида $4k-1$ что очевидно невозможно

А я поторопился засчитать Вам эту задачу, ведь это утверждение неверно: у суммы двух квадратов могут быть делители вида $4k-1$. Так что решения пока нет, нужно ещё чуть-чуть поработать

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #476618 писал(а):

Cash в сообщении #476550 писал(а):

У суммы квадратов делитель вида $4k-1$ что очевидно невозможно

А я поторопился засчитать Вам эту задачу, ведь это утверждение неверно: у суммы двух квадратов могут быть делители вида $4k-1$. Так что решения пока нет, нужно ещё чуть-чуть поработать

И опять поторопились.
-Число вида $4k-1$ всегда содержит простой делитель такого же вида.
-Все простые делители суммы квадратов двух взаимно простых чисел имеют вид $4k+1$
А в данной задаче можно сразу считать, что квадраты взаимно простые или делением в уме на общий множитель приводятся к таковому, значит, задачка Cash решена правильно.

[juna]

nnosipov в сообщении #476618 писал(а):

у суммы двух квадратов могут быть делители вида $4k-1$.

А в чем проблемы? Если $u,y$ имеют общий делитель, то он не делит $4y^2t-1$, значит делит $t$, сокращая на него приходит к традиционной формулировке: для представления числа суммой двух взаимнопростых квадратов оно не должно делиться на простое число вида $4m+3$. Ясно, что если $4y^2t-1$ - составное, то оно должно содержать нечетное число простых $4m+3$, т.е. хотя бы одно.

(Оффтоп)

Коровьев опередил.

[nnosipov]

Ничего подобного, я же написал, что нужно ещё чуть-чуть поработать, что Вы и сделали:

Коровьев в сообщении #476653 писал(а):

-Число вида $4k-1$ всегда содержит простой делитель такого же вида.
-Все простые делители суммы квадратов двух взаимно простых чисел имеют вид $4k+1$
А в данной задаче можно сразу считать, что квадраты взаимно простые или делением в уме на общий множитель приводятся к таковому

Согласитесь, это всё-такие часть решения задачи. А по поводу идеи решения --- никаких претензий, разумеется, нет.

[Cash]

А-а, понял замечание. Конечно, нужно еще добавить что $(y^2,4ty^2-1)=1$
И последнее предложение должно быть таким:
У суммы квадратов делитель вида $4k-1$, взаимно простой с одним из них, что очевидно невозможно
Теперь все верно?