2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:15 
Аватара пользователя
Найти все значения a, для которых неравенство
$\sin^5x+\cos^5x-a(\sin x+\cos x) \ge \frac{a^2-11}{2}(\sin x+\cos x)\sin x \cos x$
выполняется при всех $x \in \left[0;\frac{\pi}{4}\right].$

Натолкните на мысль хотя бы, совсем ничего поделать не могу! Эти пятые степени приводят в тупик!(

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:30 
Аватара пользователя
Начнём с ерунды: эта пугающая Вас штука очевидным образом делится на $(\sin x+\cos x)$.

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:40 
Аватара пользователя
И как это она делится? Во первых мы не уверены в знакопостоянстве \sin x+\cos x, а во-вторых что это даст? Пятые степени не исчезают!

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:42 
Аватара пользователя
Делится примерно так же, как $a^2-b^2$ делится на $a-b$. Осознайте это. Потом мы сможем обсудить, что же там происходит со степенями.

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:44 
Аватара пользователя
А как быть в $\sin x+\cos x <>0?$ 2 случая?

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:49 
Аватара пользователя
На данном отрезке их сумма всегда положительна. Так что смело делите на $\sin x+\cos x$

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 18:56 
Аватара пользователя
Хе, точно ведь! Ну ладно поделил:
$\frac{\sin^5x+\cos^5x}{\sin x+\cos x}-a \ge \frac{a^2-11}{2}\sin x \cos x.$
Я понимаю что $a^2-b^2$ делится на $a-b$, потому что разность квадратов раскладывается на множители и одна скобка сокращается. Ну тут как быть? Нет ведь такой формулы $a^5+b^5=$...

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 19:00 
Аватара пользователя
Посмотрите в Википедии. Подумайте.

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 19:04 
Аватара пользователя
Dosaev в сообщении #476109 писал(а):
Нет ведь такой формулы $a^5+b^5=$...

Так ищите. Должна быть.

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 19:10 
Аватара пользователя
Whitaker в сообщении #476110 писал(а):
Посмотрите в Википедии. Подумайте.

Спасибо! Вот ведь не додумался до википедии! пока получается! если будут вопросы напишу!)

-- Чт авг 18, 2011 19:50:32 --

Пришел к следующему неравенству:
$\sin^2 2x+(a^2-9)\sin2x+4a-4 \le 0.$
Далее:
$\sin 2x=t \in [0;1].$
$t^2+(a^2-9)t+4a-4 \le 0.$
Для выполнения требования задачи необходимо и достаточно:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
D\ge0\\
0<x_0<1\\
f(0) \ge 0\\
f(1) \ge 0.
\end{array}
\right.$
Ну вот у меня возникают сложности в решении неравенства с дискриминантом.(

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 20:48 
Аватара пользователя
Давайте Вы будете полностью говорить, что происходит. А то я, положим, догадываюсь, что такое f и D (хотя не понимаю, с чего $D\ge0$), но что такое $x_0$ - для меня загадка.

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 20:53 
Аватара пользователя
$D \ge 0$ - это чтобы корни существовали! Иначе парабола ветви вверх и всегда больше 0, а у нас неравенство меньше 0, вот. А $x_0$ это вершина параболы: $x_0=-\frac{b}{2a}.$

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 21:11 
Аватара пользователя
А, ну да, торможу. Но теперь зачем нам нужно, чтобы вершина была на (0,1)?

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 21:16 
Аватара пользователя
Это чтобы корни уравнения находились между 0 и 1. $t \in [0;1].$

 
 
 
 Re: Триг. неравенство с параметром
Сообщение18.08.2011, 21:27 
А, так это вы $t_0$ на самом деле имеете ввиду. Учтите, обозначать частное значение $t$ как $x_0$ — дурной тон.

Но давайте вернемся к неравенству $t^2 + (a^2-9)t + 4a - 4 \leqslant 0$, которое должно выполняться для $0 \leqslant t \leqslant 1$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы это неравенство выполнялось для $t=0$, $t=1$. Сообразите, почему?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group