Замена синуса экспонентой.

[Nooob]

Помогите, пожалуйста, с дифференциальным уравнением.
$p'(t) - r(t)p(t) = e^{-kt}*sin^2(wt)$
Надо, наверное, заменить синус экспонентой.
$sin(wt) = Im[e^{iwt}]$
А как заменить квадрат синуса? Можно сказать, что это
$-Re[e^{iwt}]+cos(wt)$?
Это, наверное, полный бред. Но я так, из общих соображений..

[ИСН]

Квадрат выразить через косинус двойного аргумента, и не усложнять.

[arseniiv]

А можно и напрямую, просто надо было довести всё до конца: $\sin \omega t = \operatorname{Im} e^{i \omega t} = \frac12 \left( e^{i \omega t} - e^{-i \omega t} \right)$. Теперь возведите в квадрат!

P. S. Nooob, будьте внимательны! Омега $\omega$ настолько же не похожа на $w$, насколько $\sin$ не похож на произведение $sin \equiv s \cdot i \cdot n$. (Для кода наведите указатель на формулы.)

[Nooob]

ИСН
arseniiv
Cпасибо! Как всё оказалось просто.

arseniiv, учту насчет формул.
Кстати, не могли бы Вы пояснить, почему нельзя экпоненту возводить в квадрат и брать от неё реальную часть (как в первом посте)? Я, наверное, не до конца врубаюсь в формулу Эйлера.

[Алексей К.]

А почему именно целую часть, а не дробную, или мнимую?

-- 18 авг 2011, 19:28 --

Да и вообще это ерунда какая-то, "целая часть": или часть, или целое.

[Nooob]

*опечатка исправлена

А почему нельзя.. по формуле Эйлера? Можно же сказать, что $ Re[e^{it}] = \cos(t) $
Вот мне интерено, почему нельзя возвести экспоненту в квадрат и сказать $ Re[e^{2it}] = \cos^2(t) - sin^2(t)$?

[ИСН]

Можно так.

[Nooob]

ИСН
Но тогда бред с уравнением выходит. Мы его решаем для
$\overline{p'}t - r(t)\overline{p}t = e^{2i\omega t-kt}$.
Получаем ответ и говорим:
$p = -Re[\overline{p}]+\cos^2(\omega t)$
И для $t=0$ получется, что $p = -p_0$, где $p_o$ - начальное условие.

*Ваш метод с заменой на косинус лучше, да. Но хотелось бы понять, в чём моя ошибка.