Колич. способов представл. числа в виде суммы двух квадратов

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

Насчет асимптотики числа представлений: где можно посмотреть такие асимптотические формулы? Нет ли возможности привести их здесь?

Говоря об асимптотике, я имел в виду асимптотику в проблеме Варинга, которой посвящено много весьма неэлементарных исследований. Я не являюсь специалистом в этой области, но могу сослаться, например, на обзорную статью http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/122/511.htm , в конце которой есть некоторые ссылки на труды по асимптотике в проблеме Варинга.

[juna]

Если рассмотреть формальный степенной ряд: $\sum\limits_{n\in Z}s^{n^2}=(...+s^{16}+s^9+s^4+s+1+s+s^4+s^9+s^{16}+...)$, то для ряда $(...+s^{16}+s^9+s^4+s+1+s+s^4+s^9+s^{16}+...)^k$ коэффициент при $s^N$ есть число способов представления числа N в виде суммы квадратов $k$ целых чисел с учетом порядка следования, поэтому если и есть какая-то асимптотика, нужно выражать коэффициент при $s^N, N\to \infty$. Если формальный ряд увязать с рядом Лорана и применить теорему Коши, то может что-нибудь и получится.

[Gordmit]

Brukvalub писал(а):

Говоря об асимптотике, я имел в виду асимптотику в проблеме Варинга, которой посвящено много весьма неэлементарных исследований. Я не являюсь специалистом в этой области, но могу сослаться, например, на обзорную статью http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/122/511.htm , в конце которой есть некоторые ссылки на труды по асимптотике в проблеме Варинга.

Дело в том, что асимптотика в проблеме Варинга (по Харди и Литтлвуду) выписывается в случае, если $k\geqslant(n-2)2^{n-1}+5$, где $k$ - число слагаемых, $n$ - степени, в которых эти слагаемые в сумме дают $N$ (в статье, на которую приведена ссылка, об этом говорится). При $k=n=2$ асимптотическая формула не получится, она имеет смысл при бОльших $k$ и $n$.

Вообще, мне кажется, что трудно в этом случае вообще говорить о какой бы то ни было асимптотической формуле, поскольку бесконечно много натуральных чисел не представляются в виде суммы двух квадратов.

[RIP]

Асимптотика в проблеме Варинга выписывается и при меньших значениях $k$. Совсем просто это делается при $k>2^n$. Используя метод Виноградова оценки тригонометрических сумм, при $n\geqslant11$ оценку удается снизить. При больших $n$ асимптотика выписывается при $k>(4+\overline{\overline{o}}(1))n\ln^2n$. Подробности можно прочитать, например, в книжке Вон Р. — Метод Харди-Литтлвуда. Но при $k=n=2$ это ничего не дает. Да и так понятно, что никакой асимптотической формулы написать нельзя. Можно лишь написать неулучшаемую оценку сверху (я так думаю).

[Gordmit]

Интересно, кстати, отметить поведение последовательности числа представлений в виде суммы квадратов "в среднем".
А именно, если $s_m$ - число представлений числа m в виде $a^2+b^2$, $0\leqslant a\leqslant b$, то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n s_m \to \frac{\pi}{8},\quad n\to\infty.$$

[RIP]

Gordmit писал(а):

Интересно, кстати, отметить поведение последовательности числа представлений в виде суммы квадратов "в среднем".
А именно, если $s_m$ - число представлений числа m в виде $a^2+b^2$, $0\leqslant a\leqslant b$, то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n s_m \to \frac{\pi}{8},\quad n\to\infty.$$

А почему $\frac{\pi}8$?

[Gordmit]

RIP писал(а):

А почему $\frac{\pi}8$?

Ну это из-за того, что представления типа $a^2+b^2$ и $b^2+a^2$ считаются одинаковыми, а числа a, b неотрицательные (т.е. не добавляется вариантов с -a и -b).

[RIP]

Gordmit писал(а):

RIP писал(а):

А почему $\frac{\pi}8$?

Ну это из-за того, что представления типа $a^2+b^2$ и $b^2+a^2$ считаются одинаковыми, а числа a, b неотрицательные (т.е. не добавляется вариантов с -a и -b).

Ах да, не обратил внимание на $a\leqslant b$.
Моя ошибка.