Линейная алгебра, унитарная матрица

[Nooob]

Здравствуйте, скажите,пожалуйста, почему матрица
$\left( \begin{array}{cc} i & \sqrt 2 \\ \sqrt2 & i \end{array} \right)$
Не является унитарной?
Ведь вектора, из которых она составлена ортонормированы.

[Joker_vD]

$$\left(\begin{array}{cc}i & \sqrt2 \\ \sqrt2 & i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-i & \sqrt2 \\ \sqrt2 & -i\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right) \ne \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

А все потому, что столбцы хоть и нормированы, но не ортогональны.

[Nooob]

Точно. Спасибо! Значит, нужно проверять их на ортогональность. Это ведь только у симметричной матрицы собственные вектора ортогональны..

В продолжение вопроса: какова унитарная матрица для
$ \left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0 \end{array} \right)$
Собственные значения 1 и -1.
Но тогда получается ix1 = x2, где x1, x2 - компоненты собственного вектора. И вектор не ортонормируется. Как же построить унитарную матрицу?

[ИСН]

Что значит не ортонормируется?

[Joker_vD]

Что значит "унитарная матрица матрицы"? Матрица $\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$ не подойдет?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #475733 писал(а):

А все потому, что столбцы хоть и нормированы, но не ортогональны.

В том смысле, что наоборот.

Nooob в сообщении #475737 писал(а):

какова унитарная матрица для

Никакова. Вопрос бессмысленен: матрица сама по себе либо унитарна, либо не унитарна. Эта Ваша, кстати, вполне унитарна.

(Т.е. если Вы чего-то хотите, то желательно чётко формулировать, чего именно.)

-- Ср авг 17, 2011 16:50:55 --

Joker_vD в сообщении #475838 писал(а):

Что значит "унитарная матрица матрицы"? Матрица $\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$ не подойдет?

Точно не подойдёт. Скорее всего, автору хотелось унитарного преобразования подобия, только сказать об этом он почему-то постеснялся.

[Nooob]

Ewert почему столбцы не ортонормированы? Скалярное произведение первого столбца на себя равно 1. Тоже со вторым. А ортогональность столбцов обязательное условие унитарной матрицы?

-- 17.08.2011, 20:02 --

ИСН, то есть не могу найти собственные вектора матрицы. Обычно я нахожу зависимость компонентов вектора: $ix_1 = x_2 $ в данном случае, и накладываю условие ортонормированности $x_1^2 + x_2^2 = 1$. В данном же случае, $x_1^2+ i^2x_1^2 =0$.

[ewert]

Nooob в сообщении #475880 писал(а):

А ортогональность столбцов обязательное условие унитарной матрицы?

Обязательное. И они действительно ортогональны.

Nooob в сообщении #475880 писал(а):

Скалярное произведение первого столбца на себя равно 1.

Не единице, а трём (именно поэтому произведение матрицы на сопряжённую и равно утроенной единичной).

[ИСН]

Nooob, пересмотрите свои взгляды на понятие нормы. Норма обычно не бывает нулём.

[ewert]

Nooob в сообщении #475880 писал(а):

Обычно я нахожу зависимость компонентов вектора: $ix_1 = x_2 $ в данном случае, и накладываю условие ортонормированности $x_1^2 + x_2^2 = 1$. В данном же случае, $x_1^2+ i^2x_1^2 =0$.

Вот теперь понятно. Вы просто не знаете, что такое скалярное произведение в комплексном случае.

[Nooob]

Спасибо ewert за нахождение ошибки! Действительно с правильной формулой все получается.

[ewert]

Если $\vec x=(x_1,x_2)$ и $\vec y=(y_1,y_2)$, то чему по определению равно скалярное произведение $(\vec x,\vec y)$?...

[Nooob]

ИСН да, Вы правы, ноль получался из-за неправильной формулы скалярного произведения. Теперь вроде унитарное преобразование построено. Но остались вопросы: для приведенной выше матрицы, для которой нужно было построить унитарное преобразование, были найдены собственное значения 1 и -1. Это верно?
Теперь для собственного значения 1 я пытаюсь построить собственный вектор $ix_1 = x_2$ гакладываю условие ортнормированности и получаю: $2x_1\overline{x_1} = 1$. X со штрихом- комлексное сопряженое. Что если теперь сказать, вот это все равно что $2x_1^2 = 1$? Так можно? И почему?

-- 17.08.2011, 21:10 --

И тогда $x_1 = \frac{1}{\sqrt2}$. Или $x_1 = - \frac{1}{\sqrt2}$. какой ответ выбрать?

[ewert]

Nooob в сообщении #475903 писал(а):

какой ответ выбрать?

а какая разница? Собственный вектор определён с точностью до числового множителя (ну как минимум). Нормированный, соответственно -- с точностью до множителя, равного по модулю единице.

[Joker_vD]

Ну и в качестве бонуса — краткий словарик.

Вектор назывался нормированным (а сейчас называется единичным), если его норма равна единице.
Система векторов называется ортогональной, если скалярное произведение ее любых двух различных векторов равно нулю.
Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и, дополнительно, все ее вектора нормированы.

Вектор сам по себе ортонормированным не бывает.