Амплитуда случайного процесса

[Lesobrod]

Рассмотрим случайный процесс вида
$x_i=ax_{i-1} + bx_{i-2}+r_i$,
где $r_i$ случайный шум.
Он хорошо изучен; известны условия устойчивости:
$\begin{cases} -1<b<1 \\ a+b<1\\ a-b>-1 \end{cases}$
Действительно, численное моделирование показывает стабилизацию процесса,
появление определенной частоты при некоторых $a,b$ и т.д.
Возник вопрос - какова будет средняя амплитуда "выхода"?
Попалась формула для дисперсий:
$\sigma_{out}^2=\sigma_{in}^2\frac{T}{\pi}\int_{0}^{\pi/T} S(\omega)^2 d\omega $

где $S(\omega)^2$- спектральная плотность мощности. В принципе дисперсии можно использовать для оценки амплитуды.
Но дальше пошли такие формулы, что даже Wolfram жестоко завис
А что, если подойти с другого конца? Ведь данный процесс - это дискретизация обычного осциллятора,
на который действуют случайные толчки.
Известна качественная формула амплитуды установившихся колебаний такого осциллятора:
$\overline {A^2}=\frac{\nu \overline {a^2}}{2 \delta}$
где $\nu$ - частота толчков, $\overline {a^2}$ - их средняя амплитуда, $\delta$ - коэффициент затухания.
Вот как бы увязать этот результат с $a,b$ из дискретного процесса???

[alisa-lebovski]

Мне кажется, про это должно быть в книжке Бокс, Дженкинс "Анализ временных рядов".

[Евгений Машеров]

Спектр там довольно простой. С одним пиком. Считается без проблем, если численно.
Вот тут формула:
http://www.sernam.ru/book_boks1.php?id=33

[Lesobrod]

А, блин, а я по Дженкинсу и Уоттсу (Спектральный анализ) въезжал.
Да, с Боксом-то он поинтереснее пишет.
Что приятно, у меня по аналогии с дифуром и формулой для него ,
получилась такая же дисперсия, как (3.2.28).
Спектр, кстати, не такой и простой.
В зависимости от положения корней возможен пик, корыто и фильтр
высоких/низких без резонанса.
ОК, спасибо.

(Оффтоп)

Это мне нужно для синтеза тарахтения кота в SynthMaker.

Если кому интересно, выложу .exe

[Gortaur]

Lesobrod
Мне интересно, у меня нельзя кота дома держать, так что пусть хоть тарахтит.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

"Тарахтит" это мурлыкает? Мне кажется, там сложнее спектр. И, кажется, с гармониками, так что что-то нелинейное надо...

[Lesobrod]

(Оффтоп)

http://synthmaker.co.uk/forum/viewtopic.php?f=4&t=10661
Там схема для SynthMaker. Кстати, полезная штука для тех,
кто работает с сигналами, а особенно, еще учится.
SM, конечно, примитивнее, чем Симулинк, но мне хватает за глаза.
Вот exe, на ХР и 7 должен пойти. Еще систему пресетов надо подрихтовать.
http://narod.ru/disk/21970789001/PurringCat.exe.html