инварианты матриц

[bdfn]

У меня следующий вопрос, сколько всего существует матричных инвариантов (определитель, след) и можно ли каждый элемент матрицы выразить через эти инварианты, если да то можно привести пожалуйста пример на матрицах 3 на 3 или привести ссылку на соответствующую литературу ?

[Kallikanzarid]

А что вы подразумеваете под инвариантами?

[bdfn]

Остаются постоянными при преобразованиях матрицы

[мат-ламер]

Kallikanzarid в сообщении #475496 писал(а):

А что вы подразумеваете под инвариантами?

Возможно имеется ввиду свойство линейного оператора. (Т.е. объект остаётся неизменным для любой матрицы оператора независимо от базиса.) Можно привести ещё в качестве примера характеристический многочлен.

-- Пн авг 15, 2011 22:27:09 --

А ещё - жорданова нормальная форма. Она включает в себя все остальные инварианты.

[Kallikanzarid]

bdfn в сообщении #475502 писал(а):

Остаются постоянными при преобразованиях матрицы

Что это такое?

мат-ламер в сообщении #475504 писал(а):

Возможно имеется ввиду свойство линейного оператора. (Т.е. объект остаётся неизменным для любой матрицы оператора независимо от базиса.) Можно привести ещё в качестве примера характеристический многочлен.

Тогда еще нужно прояснить, какого рода зависимость интересует ОПа: функторы, гомоморфизмы или что-то еще.

[bdfn]

Пусть есть симметричная матрица 3 на 3 тогда ее полностью определяют 6 элементов этой матрицы можно ли эти 6 элементов выразить через меньшее число инвариантов матрицы ?

[Kallikanzarid]

bdfn в сообщении #475509 писал(а):

Пусть есть симметричная матрица 3 на 3 тогда ее полностью определяют 6 элементов этой матрицы можно ли эти 6 элементов выразить через меньшее число инвариантов матрицы ?

Любая матрица $m \times n$ с вещественными коэффициентами, где $m, n$ - натуральные числа, полностью задается одним вещественным числом. Действительно, $\mathbb{R}^{m \times n}$ имеет мощность континуум, то есть существует биекция $f: \mathbb{R}^{m \times n} \to \mathbb{R}$. Таким образом, любая матрица $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ однозначно определяется числом $f(A)$.

Если вы хотите более вменяемые инварианты, то придется обсудить, соответственно, конкретное и достаточно узкое значение термина "инвариант".

[bdfn]

можно скажем выбрать 5 инвариантов являющихся функциями элементов матрицы и через них выразить все 6 элементов матрицы?

-- 15.08.2011, 22:59 --

или можно еще следующее выражение упростить $M^{-1}(M\vec{x}\times\vec{x})$ и выразить его через проекции вектора $\vec{x}$ и инварианты матрицы $M $, где M - симметричная матрица?

[мат-ламер]

Матрицу нельзя выразить чисто через её инварианты, ибо тогда все матрицы одного оператора (независимо от базиса) будут совпадать.

[Kallikanzarid]

bdfn
мат-ламер
Меня унесло не туда, прошу прощения :)

Как я понимаю, вас интересуют функции вида $f: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}$ такие, что для любой матрицы $X \in \mathbb{R}^{n \times n}$ и любой матрицы $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ такой, что $\det A \neq 0$, выполняется равенство $f(A^{-1}XA) = f(X)$, так? Если я не ошибаюсь, любая такая функция полностью определяется собственными значениями $X$, но подробно сейчас не вспомню, это по сути сводится к исследованию пространства орбит $M(n)/\mathrm{GL}(n)$ действия внутренними автоморфизмами, довольно сложная задача, но учебная :)

[bdfn]

А можно еще ссылку на теорию по данному вопросу, и у вас еще есть мысли как бы можно было упростить данное выражение $M^{-1}(M\vec{x}\times\vec{x})$?

[Leox]

По сути вопроса - об матричных инвариантах [относительно группы ортогональных преобразований]
лоступно написано в конце учебника Моденова по аналитической геометрии.

Каждый елемент матрицы нельзя выразить через инварианты.

[arseniiv]

bdfn в сообщении #475523 писал(а):

$M^{-1}(M\vec{x}\times\vec{x})$

Например, если $M$ — матрица поворота, векторное произведение $M\vec x \times \vec x$ должно выглядеть достаточно просто. Если $M$ — скалярная матрица, тоже; и если она их произведение. Про другие сразу не соображу. А ещё вы могли бы попробовать расписать всё в координатах, вдруг что-нибудь видно.

UPD: Ой, а $M$ же симметричная… Повороты не выйдут.

Можно ввести функцию $f \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^{3 \times 3}$ такую, что $f(\{a, b, c\}) = \left[\begin{matrix} 0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0 \end{matrix}\right]$. Тогда $f(\vec a) \vec x = \vec x \times \vec a$. Для вашего примера $M\vec x \times \vec x = f(\vec x) M \vec x$, и в ответе $M^{-1} f(\vec x) M \vec x$ — хотя бы тут одни матрицы и векторного умножения нет.

[alcoholist]

bdfn в сообщении #475523 писал(а):

$M^{-1}(M\vec{x}\times\vec{x})$?

если $M$ симметричный оператор, то $Mx=\lambda_1(x,e_1)e_1+\lambda_2(x,e_2)e_2+\lambda_3(x,e_3)e_3$, где $\{e_1,e_2,e_3\}$ -- ортонормированный базис