Что мешает вероятностям случайных событий быть не равными ?

[Lukin]

Дано вероятностное пространство $\{MD,DM,MM\}$.
Известно, что вероятности указаных событий не равны, хотя события случайные.

(Оффтоп)

Надеюсь это не запрещено модератором ?

Что мешает вероятности события $DM$ быть равной по величине произведению вероятностей событий $MD$ и $MM$, т.е. $P(DM)=P(MD) \cdot P(MM)$ ?
Что мешает вероятности событий $\{MD,MM\}$ быть равной по величине произведению вероятностей событий $MD$ и $DM$, т.е. $P(MD+MM)=P(MD) \cdot P(DM)$ ?
Если ничего не мешает, в чем проблема найти величину $P(MD)$

[PAV]

Ничего не мешает. Просто такого вероятностного пространства не существует, а так все нормально.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Lukin в сообщении #475340 писал(а):

Что мешает вероятности события $DM$ быть равной по величине произведению

Прежде всего мешает то, что Вы не знаете определения вероятностного пространства.
Отсюда вопрос:"Что мешает Вам начинать новые темы прямо в "Пургатории"?

-- Вс авг 14, 2011 13:46:53 --

Lukin в сообщении #475340 писал(а):

Что мешает вероятности событий $\{MD,MM\}$ быть равной по величине произведению вероятностей событий $MD$ и $DM$, т.е. $P(MD+MM)=P(MD) \cdot P(DM)$ ?

Ну, лично мне, мешает то, что $P(DM)>1$
Действительно, в левой части: $P(MD+MM)>P(MD)$
Соответственно, в правой части должно быть: $P(MD) \cdot P(DM)>P(MD)$
или $P(DM)>1$

[Someone]

Lukin в сообщении #475340 писал(а):

Что мешает вероятности события $DM$ быть равной по величине произведению вероятностей событий $MD$ и $MM$, т.е. $P(DM)=P(MD) \cdot P(MM)$ ?
Что мешает вероятности событий $\{MD,MM\}$ быть равной по величине произведению вероятностей событий $MD$ и $DM$, т.е. $P(MD+MM)=P(MD) \cdot P(DM)$ ?

А Вы эту систему уравнений решить пробовали? Поскольку $MD$ и $MM$ несовместны, то из второго уравнения следует, что $P(MD)+P(MM)=P(MD)P(DM)$. Отсюда следует, что левая часть $\geqslant P(MD)$, а правая - $\leqslant P(MD)$, поэтому они обе равны $P(MD)$. Таким образом, $P(MD)+P(MM)=P(MD)$, откуда $P(MM)=0$ и (из первого уравнения) $P(DM)=0$, и $P(MD)=P(MD)P(DM)$, откуда с учётом полученного $P(MD)=0$. С учётом того, что все четыре исхода попарно несовместны, получаем $P(DD)=1$. Таким образом, оба ребёнка в семье - девочки. И старший, и младший.

Но Ваша система уравнений не соответствует тексту Вашей задачи.

А вообще, в чём смысл рассмотрения столь вычурных условий?

P.S. И Вы, конечно, нарушаете правило, запрещающее создание темы, логически продолжающей тему, перенесённую в Пургаторий.

[Lukin]

Прошу извинить, что столько раз путал условия. Кажется разобрался.

Итак, имеем три величины $a,b,c (a=P(DM),b=P(MD),c=P(MM))$,
Условие, что $\{DM,MD,MM\}$ - вероятностное пространство означает, что $a+b+c=1$

Переводим в словесную формулировку:
В семье двое детей, один из детей - мальчик.
Это условие задает вероятностное пространство $\{DM,MD,MM\}$

$a$ - это вероятность события "девочка в семье - младшая" $DM$
Противоположным в логическом смысле будет событие "неверно, что девочка в семье младшая", т.е. девочка может быть старшей или ее может не быть вообще, это эквивалентно событию "младший в семье мальчик", т.е. объединению $MD \cup MM$.

$b$ - это вероятность события "девочка в семье старшая" $MD$
Отрицание этого "неверно, что девочка в семье старшая" эквивалентно событию "мальчик в семье старший", т.е. объединению $DM \cup MM$

$c$ - это вероятность события "в семье два мальчика" $MM$
Отрицание этого "неверно, что в семье два мальчика" эквивалентно $DM \cup MD$

$b+c$ - это объединение вероятностей событий $\{MD,MM\}$, т.е. событие "младший ребенок в семье - мальчик", этому же событию соответствует величина вероятности $1-a$, а т.к. $a$ - это вероятность события "девочка в семье младшая", то $1-a$ это его "дополнение" : "неверно, что девочка младшая".

$a+c$ - это объединение вероятностей событий $\{DM,MM\}$, т.е. событие "старший ребенок в семье мальчик", этому же событию соответствует величина вероятность $1-b$, а т.к. $b$ это событие "девочка в семье старшая", то его "дополнение" : "неверно, что девочка старшая".

Отрицание того, что "девочка в семье младшая" с одной стороны, означает "девочка в семье старшая", с другой "в семье два мальчика", с третей " мальчик в семье младший".
Соответственно, "неверно, что девочка старшая" означает: "девочка в семье старшая", "в семье два мальчика", "мальчик в семье старший".

Отрицание же того, что "в семье два мальчика" означает, либо что "девочка в семье младшая" либо, что "девочка в семье старшая", логически между этими утверждениями вроде бы должна стоять дизъюнкция $\lor$, а в вероятностном пространстве объединение $\cup$, но дизъюнкция истинна, в том числе и если истинны оба входящих в нее члена, а это противоречило бы условию "по крайне мере один из детей мальчик".

Мои условия:
Вероятность того, что девочка - младший ребенок в семье ($a$), равна произведению вероятностей, что девочка старший ребенок в семье ($b$) и того, что мальчик в семье старший ($a+c$).
$a= b(a+c)$ Здесь все верно.

А вот вторая часть условия доставила мне много хлопот.
Вероятность того, что мальчик в семье старший ($a+c$) равна произведению вероятностей, что "девочка - младший ребенок в семье" ($b$) и вероятности, что "девочка старший ребенок в семье".
Это не верно.
Даже, если бы я сформулировал его так:
Вероятность того, что мальчик в семье старший ($a+c$) равна произведению вероятностей, что "девочка младший ребенок в семье" ($b$) и вероятности, что "девочка не старший ребенок в семье", т.к. в пространстве событий ему соответствует $\{DM,MM\}$, т.е. "старший в семье мальчик".
На самом же деле нужно так:
Вероятность того, что мальчик в семье старший ($a+c$) равна произведению вероятностей, что "девочка младший ребенок в семье" ($b$) и вероятности, что "девочка младший ребенок в семье" (т.е. квадрату вероятности этого события).

Все мои ошибки и закрытие предыдущей темы связаны с попыткой связать два вероятностных пространства: пары утверждений о детях, по крайне мере одно из которых истинно $\{FT,TF,FF\}$ и пары детей, по крайне мере один из которых мальчик $\{DM,MD,MM\}$.
В этом ключе второй абзац условия я мог бы сформулировать так:
Вероятность того, что мальчик в семье старший ($a+c$) равна произведению вероятностей, что "девочка младший ребенок в семье" ($b$) и вероятности, того, что утверждение "неверно, что мальчик в семье младший", истинно.

[Лукомор]

Lukin в сообщении #475366 писал(а):

по крайне мере одно из которых истинно $\{FT,TF,FF\}$

Там точно есть $\{FF\}$ ???

[Lukin]

Лукомор в сообщении #475406 писал(а):

Lukin в сообщении #475366 писал(а):

по крайне мере одно из которых истинно $\{FT,TF,FF\}$

Там точно есть $\{FF\}$ ???

Пардон, там $\{TT\}$, еще одна опечатка:

Lukin в сообщении #475366 писал(а):

Соответственно, "неверно, что девочка старшая" означает: "девочка в семье старшая", "в семье два мальчика", "мальчик в семье старший".

Естественно,
Соответственно, "неверно, что девочка старшая" означает: "девочка в семье младшая", "в семье два мальчика", "мальчик в семье старший".

Трудно не запутаться в этих верно/неверно, девочка/мальчик, старший/младший

[Лукомор]

Lukin в сообщении #475415 писал(а):

Пардон, там $\{TT\}$, еще одна опечатка:

А можно теперь всё сначала и без опечаток?!
Условие задачи, решение, ответ, проверка...

[Lukin]

Хотелось задать интересную задачу, а получилось, как всегда :(
К условию пришел, размышляя над вероятностями в теме "Второй ребенок в теории вероятностей" на случай, если они не равны.

Условия:
Вероятность того, что девочка - младший ребенок в семье ($a$), равна произведению вероятностей, что девочка старший ребенок в семье ($b$) и того, что мальчик в семье старший ($a+c$).
$a= b(a+c)$
Вероятность того, что мальчик в семье старший ($a+c$) равна произведению вероятностей, что "девочка младший ребенок в семье" ($b$) и вероятности, того, что утверждение "неверно, что мальчик в семье младший", истинно.
$a+c=b^2 = b \cdot P(TF) $

Вероятности событий
$a=P(DM)=0,236, b=P(MD)=0,618…, c=P(MM)=0,146$
Проверка:
$a= b(a+c)= 0,618 \cdot (0,236 + 0,146) = 0,236$
$(a+c) = b^2 = 0,236 + 0,146 = 0,618^2 = 0,381$

Предположим, обнаружен биологический вид, в котором рождаются дети только один раз за всю жизнь. Всегда рождается двойня и две девочки не рождаются никогда. Статистика показала, что из каждой 1000 семей в 236 семьях первой родилась девочка, а вторым мальчик, в 618 первым родился мальчик, а второй девочка и в 146 семьях родились два мальчика.
Предположим, случайно была выбрана одна семья. Один из наблюдателей посмотрел младшего ребенка, а второй старшего.

Допустим, первый наблюдатель увидел младшего, им оказался мальчик. Какова по его мнению будет вероятность того, что старшим ребенком является девочка (является мальчик) ?

Допустим второй наблюдатель увидел старшего - мальчика, какова по его мнению будет вероятность, что младший ребенок девочка / мальчик ?

Теперь предположим, что оба увидели мальчика, но не знают, старший он или младший, какова для каждого вероятность, что другой ребенок тоже мальчик / девочка ?

[Лукомор]

Lukin в сообщении #475436 писал(а):

Хотелось задать интересную задачу, а получилось, как всегда :(

Можно было сделать проще.
В условии записать:"Вероятность того, что старший в семье - мальчик, не 1/2, а такая-то.
Соответственно, вероятность того, что второй ребёнок - мальчик, такая-то".
Всё равно, в конечном итоге, всё к этому и свелось.
Ваши условия:
1. $P(MM)=0,146...$
2. $P(DM)=0,236...$
3. $P(MD)=0,618...$
Ваши вопросы:

Lukin в сообщении #475436 писал(а):

Допустим, первый наблюдатель увидел младшего, им оказался мальчик. Какова по его мнению будет вероятность того, что старшим ребенком является девочка (является мальчик) ?

Ответ:
Девочка будет старшей, при условии, что младший - мальчик с вероятностью:
$P=\frac{P(MD)}{P(MD)+P(MM)}=0,809...$
Соответственно, с вероятностью $P=1-0,809...=0,191...$ при том же условии старшим будет мальчик.

Lukin в сообщении #475436 писал(а):

Допустим второй наблюдатель увидел старшего - мальчика, какова по его мнению будет вероятность, что младший ребенок девочка / мальчик ?

Ответ:
Девочка будет младшей, при условии, что старший - мальчик, с вероятностью:
$P=\frac{P(DM)}{P(DM)+P(MM)}=0,618...$
Младший будет мальчик при тех же условиях с вероятностью:
$P=1-0,618...=0,382...$

Lukin в сообщении #475436 писал(а):

Теперь предположим, что оба увидели мальчика, но не знают, старший он или младший, какова для каждого вероятность, что другой ребенок тоже мальчик / девочка ?

Вероятность того, что другой тоже мальчик - $P(MM)=0,146...$
Вероятность того, что другой ребёнок - девочка $P=1-0,146...=0,854...$

[Lukin]

Лукомор в сообщении #475563 писал(а):

Можно было сделать проще.
В условии записать:"Вероятность того, что старший в семье - мальчик, не 1/2, а такая-то.
Соответственно, вероятность того, что второй ребёнок - мальчик, такая-то".
Всё равно, в конечном итоге, всё к этому и свелось.

Как Вы сами убедились, это весьма просто и не весьма интересно. Хотелось как раз, чтобы эти вероятности были найдены исходя из интересных следствий.

Например, Вы нашли, что девочка будет старшей, при условии, что младший - мальчик, с вероятностью $0,809$ и что, при этом же условии, старшим будет мальчик с вероятностью $0,191$. Отношение этих вероятностей $\frac {0,191}{0,189}=0,236$ равно вероятности, что девочка младшая.
Если из $0,189$ вычесть $0,146$, а из $0,809$ вычесть $0,618$, то отношение полученных величин вновь даст вероятность $\frac {0,043}{0,191}=0,236$
$(0,146+0,236)^2=0,146$
$0,618^2=(0,146+0,236)$
Девочка будет младшей при условии, что старший мальчик, с той же вероятностью, с какой девочка будет старшей, т.е. с той же вероятностью, с какой условие будет не выполнено. Мальчик будет младшим, при условии, что старший - мальчик, с той же вероятностью, с какой мальчик будет старшим. Если взять две семьи, то вероятность, что в обеих семьях старший ребенок девочка, равна вероятности, что в одной из семей старший - мальчик. Вероятность того, что в одной из семей два мальчика равна вероятности, что в обеих семьях девочка младшая. Вероятность, что в одной из семей старшая - девочка, а в другой старший - мальчик, равна вероятности, что в одной из семей девочка младшая.
и т.д.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Однако "Золотое сечение". Бедные детки...

[Лукомор]

Lukin в сообщении #475677 писал(а):

Как Вы сами убедились, это весьма просто и не весьма интересно

(Оффтоп)

На мой взгляд, как раз, самыми красивыми и интересными являются простые соотношения...

Простите, но я так и не понял, что такое эти:

Lukin в сообщении #475366 писал(а):

пары утверждений о детях, по крайне мере одно из которых истинно $\{FT,TF,FF\}$

[Lukin]

Евгений Машеров в сообщении #475681 писал(а):

Однако "Золотое сечение". Бедные детки...

Золотые родители
Однако, может быть, интересно рассмотреть такой случай.
Один из советников подсказывает султану: "я видел, что старший - мальчик", а второй: "я видел, что девочка - старшая". Если вероятность, что каждый советник врет и говорит правду, равна $0,5$, то и вероятности, что их утверждения будут истинными равны, однако вероятности самих событий, в таком случе, окажутся меньше $0,5$ и меньше своих исходных вероятностей, с учетом, что сами события подсказок произошли.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #475681 писал(а):

Однако "Золотое сечение". Бедные детки...

Скорее уж бедные их родители! :-)

-- Вт авг 16, 2011 18:29:27 --

Lukin в сообщении #475688 писал(а):

однако вероятности самих событий, в таком случе, окажутся меньше $0,5$ и меньше своих исходных вероятностей, с учетом, что сами события подсказок произошли.

А вот вероятности самих событий никак не изменились, поскольку вероятности самих событий не зависят от достоверности высказываний каких-то там визирей...