Доказать свойство натуральных чисел

[ellipse]

В учебнике Математический анализ Зорич В.А. натуральные числа вводятся на основе вещественных. Индуктивным множеством называется множество, которое вместе с $x$ необходимо содержит $x+1$. Натуральными числами по определению считают пересечение всех индуктивных множеств, содержащих $1$, то есть минимальное индуктивное мн-во, содержащее $1$. Из такого определения естественно следует принцип индукции.


Далее доказывается утверждение:


По-моему, утверждение не доказано. Доказано лишь то, что любое натуральное число $x \in N$ может быть представлено в виде $x=n-1$, где $n \in N$. Не понимаю, как из этого следует, что для любого $n \in N$, $n>1$ верно $n-1 \in N$ ?

[caxap]

Там же доказано, что $E=\{n-1\mid n\in\mathbb N,~n>1\}=\mathbb N$.

[svv]

По принципу индукции.
Что доказал Зорич?
1) Число $1$ может быть представлено в виде $n-1$, $n \in \mathbb N$.
2) Если число $m$ может быть представлено в виде $n-1$, $n \in \mathbb N$, то и число $m+1$ может быть представлено в виде $n-1$, $n \in \mathbb N$.
После этого применяется принцип индукции, причем роль индуктивного множества законно выполняет множество чисел, представимых в виде $n-1$, $n \in \mathbb N$.

Но, признаюсь, момент, когда мне показалось: "Да, это жуткий обман!", я пережил.

[ellipse]

caxap в сообщении #411968 писал(а):

Там же доказано, что $E=\{n-1\mid n\in\mathbb N,~n>1\}=\mathbb N$.

Это утверждение значит лишь то, что $\forall x\in \mathbb N$ $\exists n\in \mathbb N$ $x=n-1$.
Где уверенность, что эти соответствующие $n$ пробегают абсолютно все множество $\{n \in \mathbb N\ |\ n>1\}$?
Нужно доказать, что $\forall n\in \mathbb N \ n>1 \ \exists x\in \mathbb N \ x=n-1$

[ewert]

ellipse в сообщении #411962 писал(а):

В учебнике Математический анализ Зорич В.А. натуральные числа вводятся на основе вещественных.

Что, и впрямь?...

Если и впрямь впрямь -- то откровенно издевательствует товарищь.

[ellipse]

ewert в сообщении #411999 писал(а):

Если и впрямь впрямь -- то откровенно издевательствует товарищь.

Почему это плохо? Конечно, можно строить их независимо, но потом все равно их придется как-то встаривать в модель Z и R, вводить отношение порядка и т.п.

Ну а как обычно доказывается это утверждение?

[Joker_vD]

ellipse в сообщении #412007 писал(а):

но потом все равно их придется как-то встаривать в модель Z и R, вводить отношение порядка и т.п.

Приличные люди так и делают. За подробностями: Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. "Энциклопедия элементарной математики", том 1, главы с третьей по шестую. Терминология несколько устаревшая, но все объяснено очень подробно, без опускания деталей.

[caxap]

Там натуральные числа два раза вводяться. Сначала как $\varnothing$, $\{\varnothing\}$, $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$... А потом элементы минимального (по отношению включения) индуктивного подмножества $\mathbb R$. Это же анализ, здесь $\mathbb R$ родней и первичней.

(Оффтоп)

ewert
Не знаю, почему вы недолюбливаете Зорича, но, по-моему (студенческому) мнению, учебник очень хороший. После Фихтенгольца, где дано всё и сразу и вперемешку, строгий и лаконичный Зорич всё расставляет по полочкам. Когда я читал (первый том, второй я не осилил), я прям чувствовал, как структурировались мои знания.

[ellipse]

Все-таки как доказать утверждение в этой терминологии из данных посылок?

[ewert]

ellipse в сообщении #412007 писал(а):

Почему это плохо?

Потому, что это бессмысленно. Есть смысл наращивать конструкции: ну, скажем, сперва берём просто арифметику, а потом потихонечку эдак добираемся и до вещественных. И нет решительно никакого смысла исходить из некоторой более общей конструкции (непонятно с какого бодуна взявшейся) и потихонечку потом спускаться вниз.

caxap в сообщении #412018 писал(а):

Не знаю, почему вы недолюбливаете Зорича,

Я его не недолюбливаю, я его просто систематически не читал. Те фрагменты, которые попадались под руку (вот именно в форуме и попадавшиеся) -- заставляют думать, что он разумен, но существенно суховат. Но вот этот конкретно фрагмент (если я его правильно понял) -- отправляет конкретно в отпад.

[ellipse]

Кажется доказал
$E=\{x \in\mathbb N \ | \ (x=1)\ or\ (\exists n\in \mathbb N \ x=n+1) \}$
$1 \in E$;
Пусть $x \in E$. Если $x=1$, то $x+1=1+1 \in E$, иначе $\exists n\in \mathbb N \ x=n+1 => x+1=(n+1)+1,\ (n+1) \in\mathbb N =>$ $ x+1 \in E => E= \mathbb N$;

[ellipse]

Решил разобрать до конца построение натуральных числе по Зоричу и опять случилась загвоздка с п.7.

Почему $n+1$ минимальный? То есть почему все натуральные $x$ не превосходящие $n$ лежат в $E$? Вдруг найдется $n \in E$ такой, что $n+1 \in M$, и при этом найдется $ x_0 \le n$ лежащий в $M$?

[Someone]

ellipse в сообщении #475371 писал(а):

Вдруг найдется $n \in E$ такой, что $n+1 \in M$, но при этом всегда будет находиться $ x \le n$ лежащий в $M$?

Что здесь делает "всегда"? Оно к какой переменной относится? Ваше высказывание такое: $\exists n(n\in E\wedge n+1\in M\wedge\forall\ldots\exists x\in M(x\leqslant n))$. Что там вместо многоточия стоит?

[ellipse]

Уже исправил. Вот так:
$\exists n(n\in E\wedge n+1\in M\wedge\exists x\in M(x\leqslant n))$.

[Someone]

ellipse в сообщении #475375 писал(а):

Уже исправил. Вот так:
$\exists n(n\in E\wedge n+1\in M\wedge\exists x\in M(x\leqslant n))$.

Ну пусть такое $n$ существует. И что? Например, пусть $M=\{2,4\}$ и $n=3$.