fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: давление в центре Земли
Сообщение12.08.2011, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: давление в центре Земли
Сообщение12.08.2011, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ой, только не надо за рамки ньютоновской гравитации вылезать...

 Профиль  
                  
 
 Re: давление в центре Земли
Сообщение13.08.2011, 06:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Цитата:
для несжимаемого тела в прямоугольных координатах

Напряжения будут иметь вид:
$\sigma_{xx}=-P+2\mu \frac {\partial U} {\partial x}$
$\sigma_{yy}=-P+2\mu \frac {\partial V} {\partial y}$
$\sigma_{zz}=-P+2\mu \frac {\partial W} {\partial z}$
$\sigma_{xy}=\mu ( \frac {\partial U} {\partial y}+ \frac {\partial V} {\partial x})$
$\sigma_{xz}=\mu ( \frac {\partial U} {\partial z}+ \frac {\partial W} {\partial x})$
$\sigma_{yz}=\mu ( \frac {\partial V} {\partial z}+ \frac {\partial W} {\partial y})$
Уравнения равновесия:
$$\left\{\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial z}=\rho g_x\\
\displaystyle \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial z}=\rho g_y\\
\displaystyle \frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}=\rho g_z
\end{array}\right.$$
Несжимаемость:
$\frac {\partial U} {\partial x}+ \frac {\partial V} {\partial y}+ \frac {\partial W} {\partial z}=0$
После преобразований:
$-\frac {\partila P} {\partial x}+\mu( \frac {\partial^2 U} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 U} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 U} {\partial^2 z})=\rho g_x$
$-\frac {\partila P} {\partial y}+\mu( \frac {\partial^2 V} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 V} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 V} {\partial^2 z})=\rho g_y$
$-\frac {\partila P} {\partial z}+\mu( \frac {\partial^2 W} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 W} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 W} {\partial^2 z})=\rho g_z$

$\frac {\partial^2 P} {\partial^2 x}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 y}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 z}=-\rho(\frac {\partial g_x} {\partial x}+\frac {\partial g_y} {\partial y}+\frac {\partial g_z} {\partial z})$
В уравнение для давления явно модуль сдвига не входит, но он входит в граничные условия - нормальные напряжения и касательные напряжения на поверхности равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: давление в центре Земли
Сообщение13.08.2011, 14:58 


06/12/06
347

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: давление в центре Земли
Сообщение13.08.2011, 17:50 


27/10/09
606
Пока вот чего понял, поправьте,если ошибусь:
$x$-овая составляющая вектора тяжести в точке $x_0,y_0,z_0$
$g_x(x_0,y_0,z_0)=G\iiint\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}^3}dx dy dz$.
Тогда $\frac {\partial g_x} {\partial x}=G\iint\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}^3}dy dz$
причем интегралы определенные. Обозначим $\frac {\partial g_x} {\partial x}=L_x(x_0,y_0,z_0)$
Тогда дифференциальное уравнение будет выглядеть как
$\frac {\partial^2 P} {\partial^2 x_0}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 y_0}+\frac {\partial^2 P} {\partial^2 z_0}=-\rho(L_x(x_0,y_0,z_0)+L_y(x_0,y_0,z_0)+L_z(x_0,y_0,z_0))$
где $x_0,y_0,z_0$ имеют смысл независимых переменных.
Для решения еще зададим шесть условий на границах прямоугольного параллелепипеда типа $P(x_l_b,y_0,z_0)=0,P(x_u_b,y_0,z_0)=0$
Плюс, конечно, надо знать $\rho(x_0,y_0,z_0)$
Достаточно ли этого для решения поставленной задачи?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group