Задача действительно простая, но хотелось бы знать: нет ли там "подводных камней"?
Нужно определить знак определенного интеграла:
![$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx$ $I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/3/dc3eab8d2636cd2035ac600c8646534982.png)
Решение мне представляется так:
Предлагается воспользоваться первой теоремой о среднем. Но в явном виде это сделать нельзя, т.к.
![$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/d/f6de2147c9c203a34732c0a74515a98c82.png)
не ограничена на отрезке
![$[0,2\pi]$ $[0,2\pi]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/e/57e00d58bd259da9dc7986c73476b95582.png)
и на этом же отрезке
![$\sin x$ $\sin x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/7/4f710545a79f58dab74d671e6a85a2ed82.png)
не знакопостоянна (а именно её мы и собираемся оставлять по знаком интеграла). Тогда представим интеграл как
![$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\int_{\varepsilon}^{\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx+
\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx \right)$ $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\int_{\varepsilon}^{\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx+
\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx \right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0dec28c459a095803d7dfe66895e1d1582.png)
. Теперь для интегралов в скобках все условия теоремы о среднем выполнены:
![$I=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\mu_1(\cos \varepsilon+1) + \mu_2(-2)=2\mu_1-2\mu_2$ $I=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\mu_1(\cos \varepsilon+1) + \mu_2(-2)=2\mu_1-2\mu_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/e/80e386a21efb684886e8770d26d8226f82.png)
. Т.к.
![$\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/d/f6de2147c9c203a34732c0a74515a98c82.png)
непрерывна на любом
![$[\varepsilon,2\pi], \varepsilon>0$ $[\varepsilon,2\pi], \varepsilon>0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/f/4df93d1bf96b696b7881b05e2db08d6282.png)
, то значения
![$\mu_1=x_1^{-1}, x_1\in[\varepsilon,\pi]$ $\mu_1=x_1^{-1}, x_1\in[\varepsilon,\pi]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/56583dadec311e05404908e7176620f982.png)
и
![$\mu_2=x_2^{-1}, x_2\in[\pi,2\pi]$ $\mu_2=x_2^{-1}, x_2\in[\pi,2\pi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/1/cb18c35b67a6bce206d33c2c051b017782.png)
, а значит
![$\mu_1\geq \mu_2$ $\mu_1\geq \mu_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/7/9075b5022af1490b56d017629fa6b4eb82.png)
и поэтому исходный интеграл неотрицателен.