Простенькая задача по матану... - определить знак интеграла

[Straw_hat]

Задача действительно простая, но хотелось бы знать: нет ли там "подводных камней"?
Нужно определить знак определенного интеграла: $I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx$
Решение мне представляется так:
Предлагается воспользоваться первой теоремой о среднем. Но в явном виде это сделать нельзя, т.к. $\frac{1}{x}$ не ограничена на отрезке $[0,2\pi]$ и на этом же отрезке $\sin x$ не знакопостоянна (а именно её мы и собираемся оставлять по знаком интеграла). Тогда представим интеграл как $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\int_{\varepsilon}^{\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx+ \int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx \right)$. Теперь для интегралов в скобках все условия теоремы о среднем выполнены: $I=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\mu_1(\cos \varepsilon+1) + \mu_2(-2)=2\mu_1-2\mu_2$. Т.к. $\frac{1}{x}$ непрерывна на любом $[\varepsilon,2\pi], \varepsilon>0$, то значения $\mu_1=x_1^{-1}, x_1\in[\varepsilon,\pi]$ и $\mu_2=x_2^{-1}, x_2\in[\pi,2\pi]$, а значит $\mu_1\geq \mu_2$ и поэтому исходный интеграл неотрицателен.

[phys]

Педевикия, см. картинку.

[Kallikanzarid]

Straw_hat в сообщении #474935 писал(а):

Нужно определить знак определенного интеграла: $I=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x} \, dx$

ИМХО, очевидная оценка:

$$\left|\int_0^\pi \frac{\sin x}{x} dx\right| > \left|\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}{x} dx\right|.$$