Задача на расширение поля

[NiGHTeR]

Доказать, что если $D$ - поле характеристики p и x - переменная, то уравнение$ z^p-x=0$ в кольце $D(x)[z]$ неразложимо, а определяемое им расширение $D(x^1/p) $несепарабильно над $D(x)$

Что значит D(x)? Как я понимаю это не есть D[x] - кольцо многочленов над D? Как тогда строится D(X) и как следует понимать х?

[Sonic86]

NiGHTeR в сообщении #474119 писал(а):

Что значит D(x)? Как я понимаю это не есть D[x] - кольцо многочленов над D? Как тогда строится D(X) и как следует понимать х?

$D[x]$ - кольцо многочленов, а $D(x)$ - поле многочленов. $x$ - просто формальная переменная.

[NiGHTeR]

Тогда получаем $z=a_nx^n+...+a_1x^1+a_0$ - многочлен из D(x). Если этот z - корень, =>

$z^p-x=0=a_n^px^{np}+...+a_1^px^p+a_0^p-x$
что выполняться не может

а как доказать несепарабельность я не знаю( надо найти такое уравнение, которое имеет кратные корни, и один корень из D(x) так?

[Joker_vD]

Sonic86 в сообщении #474138 писал(а):

NiGHTeR в сообщении #474119 писал(а):

Что значит D(x)? Как я понимаю это не есть D[x] - кольцо многочленов над D? Как тогда строится D(X) и как следует понимать х?

$D[x]$ - кольцо многочленов, а $D(x)$ - поле многочленов. $x$ - просто формальная переменная.

$D(x)$ — это поле рациональных функций, $D(x) = \{ f/g \mid f,g \in D[x],\; g\ne0\}$.

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #474650 писал(а):

$D(x)$ — это поле рациональных функций, $D(x) = \{ f/g \mid f,g \in D[x],\; g\ne0\}$.

Да, косяк, неправильно сказал

[NiGHTeR]

как тогда доказать неприводимость и несепарабельность?

[nnosipov]

NiGHTeR в сообщении #474658 писал(а):

как тогда доказать неприводимость и несепарабельность?

Чтобы доказать неприводимость многочлена $z^p-x$ над $D(x)$, можно рассуждать также, как и при доказательстве критерия Эйзенштейна неприводимости многочленов над $\mathbb{Q}$ (при этом используется аналог леммы Гаусса, позволяющий свести неприводимость над полем $D(x)$ к неприводимости над кольцом $D[x]$). А несепарабельность расширения $D(x^{1/p})$ очевидна: ведь многочлен $z^p-x$ неприводим над $D(x)$, а его корень $x^{1/p}$ имеет кратность $p$, поскольку $(z-x^{1/p})^p=z^p-x$ (по условию $D$ --- поле характеристики $p$).